Calcule a integral \int_{C}(x+2 y) d s, se C for a semicircunferência de raio 3 .
\left(I=36 m^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} (x+2y)\,ds,
onde C é a semicircunferência de raio 3. Informações relevantes dadas:
  • O integrando é x+2y.
  • O elemento de comprimento de arco é ds.
  • O raio da semicircunferência é 3.
  • Não foi especificado qual semicircunferência (superior ou inferior), mas para integrais envolvendo ds a escolha entre superior/inferior só muda o sinal de y e será tratada; aqui tomaremos a semicircunferência superior (centro na origem), que é a escolha padrão quando não é indicado o contrário. A semicircunferência superior vai do ponto (3,0) até (-3,0).

Passo 2

Vamos parametrizar a semicircunferência superior de raio 3. A parametrização padrão de um círculo de raio R centrado na origem é
x=R\cos t,\qquad y=R\sin t.
Aqui R=3. Para a semicircunferência superior usamos o parâmetro t variando de 0 a \pi. Assim:
x(t)=3\cos t,\qquad y(t)=3\sin t,\qquad 0\le t\le \pi.
Explicação didática: essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário; em t=0 estamos em (3,0) e em t=\pi em (-3,0). É a forma mais direta de descrever uma semicircunferência.

Passo 3

Agora calculamos ds em termos de t. Por definição,
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.
Derivando x(t) e y(t):
\frac{dx}{dt}=-3\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=3\cos t.
Substituindo:
\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 9\sin^2 t + 9\cos^2 t = 9(\sin^2 t+\cos^2 t)=9.
Portanto
ds=\sqrt{9}\,dt=3\,dt.
Observação: o fato de ds ficar constante ( 3\,dt) é típico em parametrizações pelo ângulo central em círculos: a velocidade escalar é o raio.

Passo 4

Substituímos a parametrização do ponto e ds na integral original. O integrando x+2y torna-se:
x(t)+2y(t)=3\cos t + 2\cdot 3\sin t = 3\cos t + 6\sin t.
Multiplicando por ds=3\,dt, o integrando em t é
(3\cos t + 6\sin t)\cdot 3 = 9\cos t + 18\sin t.
Assim a integral de linha transforma-se em uma integral em t:
\int_{C} (x+2y)\,ds = \int_{0}^{\pi} \bigl(9\cos t + 18\sin t\bigr)\,dt.

Passo 5

Vamos calcular a integral em t. Integramos termo a termo:
\int \bigl(9\cos t + 18\sin t\bigr)\,dt = 9\int \cos t\,dt + 18\int \sin t\,dt.
As primitivas conhecidas são \int \cos t\,dt=\sin t e \int \sin t\,dt=-\cos t. Portanto a primitiva do integrando é
9\sin t - 18\cos t.

Passo 6

Avaliaremos a primitiva entre t=0 e t=\pi:
\Bigl[9\sin t - 18\cos t\Bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(9\sin\pi - 18\cos\pi\bigr) - \bigl(9\sin 0 - 18\cos 0\bigr).
Calculando os valores trigonométricos:
\sin\pi=0,\quad \cos\pi=-1,\quad \sin 0=0,\quad \cos 0=1.
Substituindo:
(9\cdot 0 - 18\cdot(-1)) - (9\cdot 0 - 18\cdot 1) = (0 + 18) - (0 - 18) = 18 - (-18) = 36.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o valor da integral deu 36. Isso é coerente com o cálculo direto feito passo a passo. (Unidade indicada pelo enunciado: \text{m}^2.)

Resposta

36\\ \text{m}^2

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