Calcule a integral
, se C for a semicircunferência de raio 3 .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é a semicircunferência de raio
. Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - O elemento de comprimento de arco é
. - O raio da semicircunferência é
. - Não foi especificado qual semicircunferência (superior ou inferior), mas para integrais envolvendo
a escolha entre superior/inferior só muda o sinal de e será tratada; aqui tomaremos a semicircunferência superior (centro na origem), que é a escolha padrão quando não é indicado o contrário. A semicircunferência superior vai do ponto até .
Passo 2
Vamos parametrizar a semicircunferência superior de raio
. A parametrização padrão de um círculo de raio
centrado na origem é
Aqui
. Para a semicircunferência superior usamos o parâmetro
variando de
a
. Assim:
Explicação didática: essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário; em
estamos em
e em
em
. É a forma mais direta de descrever uma semicircunferência.
Passo 3
Agora calculamos
em termos de
. Por definição,
Derivando
e
:
Substituindo:
Portanto
Observação: o fato de
ficar constante (
) é típico em parametrizações pelo ângulo central em círculos: a velocidade escalar é o raio.
Passo 4
Substituímos a parametrização do ponto e
na integral original. O integrando
torna-se:
Multiplicando por
, o integrando em
é
Assim a integral de linha transforma-se em uma integral em
:
Passo 5
Vamos calcular a integral em
. Integramos termo a termo:
As primitivas conhecidas são
e
. Portanto a primitiva do integrando é
Passo 6
Avaliaremos a primitiva entre
e
:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: o valor da integral deu
. Isso é coerente com o cálculo direto feito passo a passo. (Unidade indicada pelo enunciado:
.)