Calcule a integral.
\int \frac{d x}{4-5 \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{4 - 5 \sin x}.
O conteúdo aqui é a transformação de funções circulares em racionais via substituição de Weierstrass t = \tan\frac{x}{2}.

Passo 2

Com t = \tan\frac{x}{2} temos as fórmulas padrão
\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}.
Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{4 - 5\sin x} = \int \frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{4 - 5\frac{2t}{1+t^2}} = \int \frac{2\,dt}{4(1+t^2) - 10t}.

Passo 3

No denominador, desenvolvendo,
4(1+t^2) - 10t = 4t^2 - 10t + 4.
Assim a integral fica
\int \frac{2\,dt}{4t^2 -10t +4} = \int \frac{dt}{2t^2 - 5t +2}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em \frac{1}{2t^2 - 5t +2}, escrevemos
\frac{1}{2t^2 -5t +2} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-\tfrac12}.
Igualando numeradores encontra-se A=\tfrac23 e B=-\tfrac23. Logo,
\int \frac{dt}{2t^2 -5t +2} = \frac{2}{3}\int \frac{dt}{t-2} - \frac{2}{3}\int \frac{dt}{t-\tfrac12} = \frac{2}{3}\ln\Bigl|\frac{t-2}{t-\tfrac12}\Bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x com t=\tan\frac{x}{2}, concluímos
\int \frac{dx}{4 - 5\sin x} = \frac{2}{3}\ln\Bigl|\frac{\tan\frac{x}{2}-2}{\tan\frac{x}{2}-\tfrac12}\Bigr| + C.

Resposta

\frac{2}{3}\ln\Bigl|\frac{\tan\frac{x}{2}-2}{\tan\frac{x}{2}-\tfrac12}\Bigr| + C.

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