Calcule a integral.
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{2}+4\bigr)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de função racional. Note que o numerador é x\,dx e as raízes do denominador vêm de x^{2}, então vamos usar a substituição u = x^{2} seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Façamos a substituição
u = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Então a integral se transforma em
\int \frac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{(u+1)(u+4)}.

Passo 3

Agora decomponha
\frac{1}{(u+1)(u+4)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+4}.
Multiplicando por (u+1)(u+4) obtemos
1 = A(u+4) + B(u+1).
Para u=-1 1 = A\cdot3, logo A = \tfrac{1}{3}.
Para u=-4 1 = B\cdot(-3), logo B = -\tfrac{1}{3}.
Assim
\frac{1}{(u+1)(u+4)} = \frac{1/3}{u+1} - \frac{1/3}{u+4}.

Passo 4

Substituindo na integral:
\frac12 \int \frac{du}{(u+1)(u+4)} = \frac12 \int \Bigl(\frac{1/3}{u+1} - \frac{1/3}{u+4}\Bigr)\,du = \frac{1}{6}\int \Bigl(\frac{1}{u+1} - \frac{1}{u+4}\Bigr)\,du.
Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{u+1}\,du = \ln|u+1|,\qquad \int \frac{1}{u+4}\,du = \ln|u+4|.
Logo
\frac{1}{6}\bigl[\ln|u+1| - \ln|u+4|\bigr] + C.

Passo 5

Recombinaos os logaritmos e voltamos a x:
\frac{1}{6}\ln\!\frac{u+1}{u+4} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{6}\ln\!\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4} + C.

Resposta

\frac{1}{6}\ln\!\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4} + C.

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