Calcule a integral.
\int \operatorname{cotg}^{3} 2 x \operatorname{cossec}^{3} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{cotg}^{3}(2x)\,\cossec^{3}(2x)\,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando substituição. Vamos precisar converter em termos de \operatorname{cotg} e \cossec e depois escolher uma substituição conveniente.

Passo 2

Observamos que
\operatorname{cotg}^{3}(2x)\,\cossec^{3}(2x) =\bigl[\operatorname{cotg}^{2}(2x)\bigr]\;\bigl[\cossec^{2}(2x)\bigr]\;\bigl[\operatorname{cotg}(2x)\,\cossec(2x)\bigr].
E sabemos que \operatorname{cotg}^{2}(2x)=\cossec^{2}(2x)-1. Assim agrupar é útil para a substituição.

Passo 3

Fazemos a substituição
v = \cossec(2x).
Diferenciando temos
dv = -2\,\cossec(2x)\,\operatorname{cotg}(2x)\,dx,
isto é,
\operatorname{cotg}(2x)\,\cossec(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\,dv.

Passo 4

Reescrevendo a integral em v:
\int \operatorname{cotg}^{3}(2x)\,\cossec^{3}(2x)\,dx = \int \bigl[\operatorname{cotg}^{2}(2x)\bigr]\;\bigl[\cossec^{2}(2x)\bigr]\;\bigl[\operatorname{cotg}(2x)\,\cossec(2x)\,dx\bigr].
Substituindo \operatorname{cotg}^{2}(2x)=v^{2}-1, \cossec^{2}(2x)=v^{2} e \operatorname{cotg}(2x)\cossec(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}dv, obtemos
-\frac{1}{2}\int (v^{2}-1)\,v^{2}\,dv =-\frac{1}{2}\int \bigl(v^{4}-v^{2}\bigr)\,dv.

Passo 5

Integramos o polinômio em v:
-\frac{1}{2}\int \bigl(v^{4}-v^{2}\bigr)\,dv =-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{v^{5}}{5}-\frac{v^{3}}{3}\Bigr)+C =-\frac{v^{5}}{10}+\frac{v^{3}}{6}+C.

Passo 6

Voltando a variável original x com v=\cossec(2x), obtemos
-\frac{\cossec^{5}(2x)}{10}+\frac{\cossec^{3}(2x)}{6}+C.

Resposta

-\frac{\cossec^{5}(2x)}{10}+\frac{\cossec^{3}(2x)}{6}+C

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