Calcule a integral.
\int\left(x^{2}+4 x-3\right) \operatorname{sen} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(x^{2}+4x-3\bigr)\sin(2x)\,dx.
Este é um produto de polinômio por função trigonométrica. Vamos decompor em três integrais
\int x^{2}\sin(2x)\,dx,\quad 4\int x\sin(2x)\,dx,\quad -3\int\sin(2x)\,dx
e usar integração por partes em cada uma, agrupando tudo no final.

Passo 2

Calcular \displaystyle \int x^{2}\sin(2x)\,dx por partes. Seja
\displaystyle u=x^{2}, du=2x\,dx e \,dv=\sin(2x)\,dx, v=-\tfrac12\cos(2x).
Portanto,
\int x^{2}\sin(2x)\,dx =-\frac12 x^{2}\cos(2x) +\int x\cos(2x)\,dx.
Para \displaystyle \int x\cos(2x)\,dx escolhemos u=x, du=dx, dv=\cos(2x)\,dx, v=\tfrac12\sin(2x). Logo,
\int x\cos(2x)\,dx =\frac12 x\sin(2x)-\int\frac12\sin(2x)\,dx =\frac12 x\sin(2x)+\frac14\cos(2x).
Combinando,
\int x^{2}\sin(2x)\,dx =-\frac12 x^{2}\cos(2x) +\frac12 x\sin(2x) +\frac14\cos(2x).

Passo 3

Calcular \displaystyle \int x\sin(2x)\,dx. Seja u=x, du=dx, dv=\sin(2x)\,dx, v=-\tfrac12\cos(2x). Então
\int x\sin(2x)\,dx =-\frac12 x\cos(2x) +\int\frac12\cos(2x)\,dx =-\frac12 x\cos(2x) +\frac14\sin(2x).

Passo 4

Calcular \displaystyle \int\sin(2x)\,dx é direto:
\int\sin(2x)\,dx =-\frac12\cos(2x).

Passo 5

Agora somamos com os coeficientes originais:
\int\bigl(x^{2}+4x-3\bigr)\sin(2x)\,dx =\Bigl[\int x^{2}\sin(2x)\,dx\Bigr] +4\Bigl[\int x\sin(2x)\,dx\Bigr] -3\Bigl[\int\sin(2x)\,dx\Bigr].
Substituindo cada resultado e agrupando termos em \cos(2x) e \sin(2x), obtemos
-\frac12 x^{2}\cos(2x) -2x\cos(2x) +\frac74\cos(2x) \;+\;\Bigl(\tfrac12 x+1\Bigr)\sin(2x) + C.
Ou, de forma simplificada,
\left(-\frac12x^{2}-2x+\frac74\right)\cos(2x) +\left(\frac12x+1\right)\sin(2x) + C.

Resposta

\int\bigl(x^{2}+4x-3\bigr)\sin(2x)\,dx =\left(-\frac12x^{2}-2x+\frac74\right)\cos(2x) +\left(\frac12x+1\right)\sin(2x) + C.

Exercícios relacionados