Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
a) \int \frac{12 x^{2}+21 x+3}{(x+1)\left(3 x^{2}+5 x-2\right)} d x
b) \int \frac{2 x^{2}+x+1}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)} d x
c) \int \frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)} d x
d) \int \frac{x^{2}+x+5}{x^{2}+4 x+10} d x
e) \int \frac{1}{x^{3}+2 x^{2}+3 x} d x
f) \int \frac{x^{3}+6 x^{2}+3 x+6}{x^{3}+2 x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular as primitivas (integrais indefinidas) das seis funções racionais abaixo por frações parciais:
e, quando aparecer um quadrado do tipo (x+c)^2+a^2, uso \arctan com substituição u=x+c.
Agora começo as resoluções passo a passo.
Passo 2
Resolução de (a).
Primeiro fatoro o denominador onde for conveniente. O quadrático 3x^{2}+5x-2 tem discriminante \Delta=5^{2}-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49, raiz \sqrt{\Delta}=7. As raízes são
Uso o método “cover-up” (avaliar em pontos que anulam fatores) para encontrar A,B,C:
Para x=-1: só sobrevive o termo com A. Calculando o lado esquerdo: 4(-1)^2+7(-1)+1=4-7+1=-2. No lado direito o fator dá A(-1-\tfrac{1}{3})(-1+2)=A(-\tfrac{4}{3})(1). Assim
Para x=\tfrac{1}{3}: só sobrevive o termo com B. Lado esquerdo: 4\cdot\frac{1}{9}+7\cdot\frac{1}{3}+1=\frac{4}{9}+\frac{7}{3}+1=\frac{34}{9}. No direito B(\tfrac{1}{3}+1)(\tfrac{1}{3}+2)=B\frac{4}{3}\frac{7}{3}=B\frac{28}{9}. Então
Para x=-2: só sobrevive o termo com C. Lado esquerdo: 4\cdot4+7(-2)+1=16-14+1=3. No direito C(-2+1)(-2-\tfrac{1}{3})=C(-1)(-\tfrac{7}{3})=C\frac{7}{3}. Logo
Integro cada parcela. Uso \int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}dx=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+a^{2}) e \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan\!\big(\frac{x}{a}\big) com a=3.
Para integrar a parte \dfrac{-3x-5}{x^{2}+4x+10} procuro expressar o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante. A derivada do denominador é 2x+4. Procuro constantes a,b tais que
-3x-5 = a(2x+4) + b.
Comparando coeficientes: 2a=-3 \Rightarrow a=-\tfrac{3}{2}. Então 4a + b = -5 \Rightarrow -6 + b = -5 \Rightarrow b=1.
Integro usando \int \frac{u}{u^{2}+a^{2}}du=\tfrac{1}{2}\ln(u^{2}+a^{2}) e \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}du=\tfrac{1}{a}\arctan(u/a) com u=x+1 e a=\sqrt{2}: