Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
a)
\int \frac{12 x^{2}+21 x+3}{(x+1)\left(3 x^{2}+5 x-2\right)} d x
b)
\int \frac{2 x^{2}+x+1}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)} d x
c)
\int \frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)} d x
d)
\int \frac{x^{2}+x+5}{x^{2}+4 x+10} d x
e)
\int \frac{1}{x^{3}+2 x^{2}+3 x} d x
f)
\int \frac{x^{3}+6 x^{2}+3 x+6}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas (integrais indefinidas) das seis funções racionais abaixo por frações parciais:
\text{(a)}\quad \int \frac{12 x^{2}+21 x+3}{(x+1)\left(3 x^{2}+5 x-2\right)}\,dx
\text{(b)}\quad \int \frac{2 x^{2}+x+1}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)}\,dx
\text{\text{(c)}}\quad \int \frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)}\,dx
\text{(d)}\quad \int \frac{x^{2}+x+5}{x^{2}+4 x+10}\,dx
\text{(e)}\quad \int \frac{1}{x^{3}+2 x^{2}+3 x}\,dx
\text{(f)}\quad \int \frac{x^{3}+6 x^{2}+3 x+6}{x^{3}+2 x^{2}}\,dx
Informações relevantes e observações iniciais (todas vindas do próprio enunciado):
  • Todas as funções são racionais (frações de polinômios).
  • Para cada caso vou verificar se o numerador tem grau menor que o denominador (caso contrário faço divisão polinomial primeiro).
  • Depois vou decompor em frações parciais segundo a fatoração do denominador (fatores lineares e quadráticos irreduzíveis).
  • Em seguida integro cada parcela usando fórmulas básicas: \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C, \qquad \int \frac{x}{x^{2}+b}\,dx=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+b)+C,
\int \frac{1}{x^{2}+b}\,dx=\frac{1}{\sqrt{b}}\arctan\!\Big(\frac{x}{\sqrt{b}}\Big)+C
e, quando aparecer um quadrado do tipo (x+c)^2+a^2, uso \arctan com substituição u=x+c.
Agora começo as resoluções passo a passo.

Passo 2

Resolução de (a).
  1. Primeiro fatoro o denominador onde for conveniente. O quadrático 3x^{2}+5x-2 tem discriminante \Delta=5^{2}-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49, raiz \sqrt{\Delta}=7. As raízes são
x=\frac{-5\pm7}{6} \Rightarrow x=\frac{1}{3}\\ \text{e}\\ x=-2.
Portanto
3x^{2}+5x-2=3\big(x-\tfrac{1}{3}\big)(x+2).
  1. Como o denominador se escreve com fatores lineares distintos, uso decomposição em frações simples:
\frac{12x^{2}+21x+3}{(x+1)\left(3x^{2}+5x-2\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-\tfrac{1}{3}}+\frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por 3(x+1)\big(x-\tfrac{1}{3}\big)(x+2) e dividindo por 3 para simplificar, obtenho a igualdade polinomial
4x^{2}+7x+1 = A\big(x-\tfrac{1}{3}\big)(x+2)+B(x+1)(x+2)+C(x+1)\big(x-\tfrac{1}{3}\big).
  1. Uso o método “cover-up” (avaliar em pontos que anulam fatores) para encontrar A,B,C:
  • Para x=-1: só sobrevive o termo com A. Calculando o lado esquerdo: 4(-1)^2+7(-1)+1=4-7+1=-2. No lado direito o fator dá A(-1-\tfrac{1}{3})(-1+2)=A(-\tfrac{4}{3})(1). Assim
-2 = A\big(-\tfrac{4}{3}\big)\Rightarrow A=\tfrac{3}{2}.
  • Para x=\tfrac{1}{3}: só sobrevive o termo com B. Lado esquerdo: 4\cdot\frac{1}{9}+7\cdot\frac{1}{3}+1=\frac{4}{9}+\frac{7}{3}+1=\frac{34}{9}. No direito B(\tfrac{1}{3}+1)(\tfrac{1}{3}+2)=B\frac{4}{3}\frac{7}{3}=B\frac{28}{9}. Então
\frac{34}{9}=B\frac{28}{9}\Rightarrow B=\frac{34}{28}=\frac{17}{14}.
  • Para x=-2: só sobrevive o termo com C. Lado esquerdo: 4\cdot4+7(-2)+1=16-14+1=3. No direito C(-2+1)(-2-\tfrac{1}{3})=C(-1)(-\tfrac{7}{3})=C\frac{7}{3}. Logo
3=C\frac{7}{3}\Rightarrow C=\frac{9}{7}.
  1. Assim a decomposição é
\frac{12x^{2}+21x+3}{(x+1)\left(3x^{2}+5x-2\right)}=\frac{3/2}{x+1}+\frac{17/14}{x-\tfrac{1}{3}}+\frac{9/7}{x+2}.
  1. Integro termo a termo usando \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|:
\int \frac{12x^{2}+21x+3}{(x+1)\left(3x^{2}+5x-2\right)}\,dx =\frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{17}{14}\ln\Big|x-\tfrac{1}{3}\Big|+\frac{9}{7}\ln|x+2|+C.

Passo 3

Resolução de (b).
  1. O denominador é (x+1)(x^{2}+9) com x^{2}+9 irreduzível sobre \mathbb{R}. Faço a decomposição padrão:
\frac{2x^{2}+x+1}{(x+1)(x^{2}+9)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+9}.
  1. Multiplicando por (x+1)(x^{2}+9) obtemos
2x^{2}+x+1 = A(x^{2}+9)+(Bx+C)(x+1).
Expando e igualando coeficientes:
2x^{2}+x+1 = (A+B)x^{2}+(B+C)x+(9A+C).
Igualando coeficientes:
A+B=2,\quad B+C=1,\quad 9A+C=1.
  1. Resolvo o sistema. De A+B=2 segue B=2-A. De B+C=1 vem C=1-B=1-(2-A)=A-1. Substituo em 9A+C=1:
9A + (A-1)=1 \Rightarrow 10A-1=1 \Rightarrow 10A=2 \Rightarrow A=\tfrac{1}{5}.
Então B=2-\tfrac{1}{5}=\tfrac{9}{5} e C=\tfrac{1}{5}-1=-\tfrac{4}{5}.
  1. Reescrevo a integral:
\int \frac{2x^{2}+x+1}{(x+1)(x^{2}+9)}\,dx = \int \frac{1/5}{x+1}\,dx + \int \frac{\tfrac{9}{5}x-\tfrac{4}{5}}{x^{2}+9}\,dx.
  1. Integro cada parcela. Uso \int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}dx=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+a^{2}) e \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan\!\big(\frac{x}{a}\big) com a=3.
\int \frac{\tfrac{9}{5}x}{x^{2}+9}\,dx=\frac{9}{5}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+9)=\frac{9}{10}\ln(x^{2}+9),
\int -\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{x^{2}+9}\,dx=-\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\Big(\frac{x}{3}\Big)=-\frac{4}{15}\arctan\!\Big(\frac{x}{3}\Big).
  1. Colocando tudo junto:
\int \frac{2x^{2}+x+1}{(x+1)(x^{2}+9)}\,dx =\frac{1}{5}\ln|x+1|+\frac{9}{10}\ln(x^{2}+9)-\frac{4}{15}\arctan\!\Big(\frac{x}{3}\Big)+C.

Passo 4

Resolução de (c).
  1. Denominador (x-3)(x^{2}+6x+10). O quadrático tem \Delta=6^{2}-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0, então é irreduzível. Faço a decomposição:
\frac{6x^{2}+8x-4}{(x-3)(x^{2}+6x+10)}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^{2}+6x+10}.
  1. Multiplicando por (x-3)(x^{2}+6x+10):
6x^{2}+8x-4 = A(x^{2}+6x+10)+(Bx+C)(x-3).
Expando e agrupo coeficientes:
6x^{2}+8x-4=(A+B)x^{2}+(6A-3B+C)x+(10A-3C).
Igualando coeficientes:
A+B=6,\quad 6A-3B+C=8,\quad 10A-3C=-4.
  1. Resolvo o sistema. De A+B=6 vem B=6-A. Substituo em 6A-3B+C=8:
6A-3(6-A)+C=8 \Rightarrow 6A-18+3A +C=8 \Rightarrow 9A + C =26 \Rightarrow C=26-9A.
Agora uso 10A-3C=-4:
10A-3(26-9A)=-4 \Rightarrow 10A-78+27A=-4 \Rightarrow 37A=74 \Rightarrow A=2.
Logo B=6-2=4 e C=26-9\cdot2=8.
  1. Assim
\frac{6x^{2}+8x-4}{(x-3)(x^{2}+6x+10)}=\frac{2}{x-3}+\frac{4x+8}{x^{2}+6x+10}.
  1. Para integrar o termo com o quadrático, completo o quadrado no denominador:
x^{2}+6x+10=(x+3)^{2}+1.
Reescrevo o numerador 4x+8=4(x+2)=4[(x+3)-1]=4(x+3)-4. Então
\frac{4x+8}{x^{2}+6x+10}=\frac{4(x+3)}{(x+3)^{2}+1}-\frac{4}{(x+3)^{2}+1}.
  1. Integro termo a termo:
\int \frac{2}{x-3}\,dx = 2\ln|x-3|,
\int \frac{4(x+3)}{(x+3)^{2}+1}\,dx = 2\ln\big((x+3)^{2}+1\big) \quad\text{(porque }\tfrac{d}{dx}((x+3)^{2}+1)=2(x+3)\text{)},
\int -\frac{4}{(x+3)^{2}+1}\,dx = -4\arctan(x+3).
  1. Somando:
\int \frac{6x^{2}+8x-4}{(x-3)(x^{2}+6x+10)}\,dx =2\ln|x-3|+2\ln\big((x+3)^{2}+1\big)-4\arctan(x+3)+C.

Passo 5

Resolução de (d).
  1. Aqui o grau do numerador é igual ao do denominador (ambos grau 2), então faço a divisão polinomial por inspeção: escrevo
\frac{x^{2}+x+5}{x^{2}+4x+10}=1+\frac{(x^{2}+x+5)-(x^{2}+4x+10)}{x^{2}+4x+10}=1+\frac{-3x-5}{x^{2}+4x+10}.
  1. Para integrar a parte \dfrac{-3x-5}{x^{2}+4x+10} procuro expressar o numerador como múltiplo da derivada do denominador mais constante. A derivada do denominador é 2x+4. Procuro constantes a,b tais que
-3x-5 = a(2x+4) + b.
Comparando coeficientes: 2a=-3 \Rightarrow a=-\tfrac{3}{2}. Então 4a + b = -5 \Rightarrow -6 + b = -5 \Rightarrow b=1.
  1. Assim
\frac{-3x-5}{x^{2}+4x+10} = -\tfrac{3}{2}\cdot\frac{2x+4}{x^{2}+4x+10} + \frac{1}{x^{2}+4x+10}.
  1. Completo o quadrado no denominador:
x^{2}+4x+10=(x+2)^{2}+6.
Logo
\int \frac{1}{x^{2}+4x+10}\,dx = \int \frac{1}{(x+2)^{2}+(\sqrt{6})^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\Big(\frac{x+2}{\sqrt{6}}\Big).
  1. Integro tudo:
\int \frac{x^{2}+x+5}{x^{2}+4x+10}\,dx = \int 1\,dx -\tfrac{3}{2}\int \frac{2x+4}{x^{2}+4x+10}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+4x+10}\,dx.
= x -\tfrac{3}{2}\ln(x^{2}+4x+10) + \frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\Big(\frac{x+2}{\sqrt{6}}\Big) + C.

Passo 6

Resolução de (e).
  1. Fatoro o denominador:
x^{3}+2x^{2}+3x = x(x^{2}+2x+3).
O quadrático x^{2}+2x+3 tem \Delta=4-12=-8<0 (irreducível). Decomposição padrão:
\frac{1}{x(x^{2}+2x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+3}.
  1. Multiplicando por x(x^{2}+2x+3):
1=A(x^{2}+2x+3)+(Bx+C)x.
Expando:
1=(A+B)x^{2}+(2A+C)x+3A.
Igualando coeficientes:
A+B=0,\quad 2A+C=0,\quad 3A=1.
  1. Logo A=\tfrac{1}{3}. Então B=-A=-\tfrac{1}{3} e C=-2A=-\tfrac{2}{3}.
  2. Reescrevo a integral:
\int \frac{1}{x^{3}+2x^{2}+3x}\,dx =\int \frac{1/3}{x}\,dx + \int \frac{-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{3}}{x^{2}+2x+3}\,dx.
  1. No segundo termo, completo o quadrado x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2. Escrevo o numerador como combinação de (x+1) e constante:
-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{3} = -\tfrac{1}{3}(x+1) -\tfrac{1}{3}.
Portanto
\int \frac{-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{3}}{(x+1)^{2}+2}\,dx = -\tfrac{1}{3}\int \frac{x+1}{(x+1)^{2}+2}\,dx -\tfrac{1}{3}\int \frac{1}{(x+1)^{2}+2}\,dx.
  1. Integro usando \int \frac{u}{u^{2}+a^{2}}du=\tfrac{1}{2}\ln(u^{2}+a^{2}) e \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}du=\tfrac{1}{a}\arctan(u/a) com u=x+1 e a=\sqrt{2}:
\int \frac{x+1}{(x+1)^{2}+2}\,dx=\tfrac{1}{2}\ln\big((x+1)^{2}+2\big),
\int \frac{1}{(x+1)^{2}+2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\Big(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Big).
  1. Juntando tudo:
\int \frac{1}{x^{3}+2x^{2}+3x}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x| -\frac{1}{6}\ln\big(x^{2}+2x+3\big) -\frac{1}{3\sqrt{2}}\arctan\!\Big(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Big) + C.

Passo 7

Resolução de (f).
  1. Denominador x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2). O numerador tem grau 3, igual ao do denominador, então faço divisão polinomial (ou observo por inspeção): escrevo
\frac{x^{3}+6x^{2}+3x+6}{x^{3}+2x^{2}} = 1 + \frac{(x^{3}+6x^{2}+3x+6)-(x^{3}+2x^{2})}{x^{3}+2x^{2}} =1+\frac{4x^{2}+3x+6}{x^{2}(x+2)}.
  1. Agora decomponho a parte própria em frações parciais com fatores x (simples e quadrado) e x+2:
\frac{4x^{2}+3x+6}{x^{2}(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+2}.
Multiplicando por x^{2}(x+2):
4x^{2}+3x+6 = A x(x+2) + B(x+2) + C x^{2}.
Expandindo:
4x^{2}+3x+6 = (A+C)x^{2} + (2A+B)x + 2B.
  1. Igualando coeficientes:
A+C=4,\quad 2A+B=3,\quad 2B=6.
Da última equação B=3. Da segunda 2A+3=3\Rightarrow 2A=0\Rightarrow A=0. Da primeira C=4-A=4.
  1. Assim
\frac{4x^{2}+3x+6}{x^{2}(x+2)}=\frac{0}{x}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x+2}=\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x+2}.
  1. Integro tudo:
\int \frac{x^{3}+6x^{2}+3x+6}{x^{3}+2x^{2}}\,dx = \int 1\,dx + 3\int \frac{1}{x^{2}}\,dx + 4\int \frac{1}{x+2}\,dx.
= x + 3\left(-\frac{1}{x}\right) + 4\ln|x+2| + C = x -\frac{3}{x} + 4\ln|x+2| + C.

Resposta

\displaystyle \text{(a)}\\ \frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{17}{14}\ln\Big|x-\tfrac{1}{3}\Big|+\frac{9}{7}\ln|x+2|+C
\displaystyle \text{(b)}\\ \frac{1}{5}\ln|x+1|+\frac{9}{10}\ln(x^{2}+9)-\frac{4}{15}\arctan\!\Big(\frac{x}{3}\Big)+C
\displaystyle \text{\text{(c)}}\\\ 2\ln|x-3|+2\ln\big((x+3)^{2}+1\big)-4\arctan(x+3)+C
\displaystyle \text{(d)}\\ x-\frac{3}{2}\ln(x^{2}+4x+10)+\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\Big(\frac{x+2}{\sqrt{6}}\Big)+C
\displaystyle \text{(e)}\\ \frac{1}{3}\ln|x|-\frac{1}{6}\ln\big(x^{2}+2x+3\big)-\frac{1}{3\sqrt{2}}\arctan\!\Big(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Big)+C
\displaystyle \text{(f)}\\ x-\frac{3}{x}+4\ln|x+2|+C

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