Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
a)
\int \frac{1}{x^{2}-9} d x
b)
\int \frac{x}{x^{2}-5 x+6} d x
c)
\int_{3}^{4} \frac{x+3}{(x-1)^{2}} d x
d)
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-2 x+1} d x
e)
\int \frac{x^{2}+2}{x^{2}-4} d x
f)
\int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} d x
g)
\int \frac{x^{4}+x+1}{x^{3}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular sete integrais por frações parciais. Vou listar claramente cada integral que devemos resolver:
  • (a) \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-9}\,dx.
  • (b) \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx.
  • (c) \displaystyle \int_{3}^{4} \frac{x+3}{(x-1)^{2}}\,dx.
  • (d) \displaystyle \int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-2x+1}\,dx.
  • (e) \displaystyle \int \frac{x^{2}+2}{x^{2}-4}\,dx.
  • (f) \displaystyle \int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx.
  • (g) \displaystyle \int \frac{x^{4}+x+1}{x^{3}-x}\,dx.
Informações úteis (que vamos usar para todas as integrais):
  • Frações parciais: quando uma função racional tem denominador que se fatoriza em fatores lineares simples ou repetidos, escrevemos a decomposição com constantes desconhecidas (por exemplo, A/(x-a) para fator simples e B/(x-a)^{2} para fator repetido) e determinamos essas constantes.
  • Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, primeiro fazemos divisão de polinômios para obter um polinômio + uma fração própria (grau do numerador menor que o denominador).
  • Integrais básicas que usaremos:
    • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
    • \displaystyle \int (x-a)^{-n}\,dx = \frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1} + C para n\neq1; em particular \displaystyle \int \frac{1}{(x-a)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x-a}+C.
Agora eu começo a resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Resolvendo (a): \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-9}\,dx.
  1. Fatorizar o denominador: \displaystyle x^{2}-9=(x-3)(x+3).
  2. Propor decomposição em frações parciais (fatores lineares simples): suponha
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3},
onde A e B são constantes a determinar.
  1. Igualar numeradores: multiplicando por (x-3)(x+3),
1 = A(x+3)+B(x-3).
  1. Determinar A e B: coloque valores convenientes de x.
  • Para x=3: 1 = A(6) \Rightarrow A=\dfrac{1}{6}.
  • Para x=-3: 1 = B(-6) \Rightarrow B=-\dfrac{1}{6}.
  1. Então
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x-3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x+3}.
  1. Integrar termo a termo:
\int \frac{1}{x^{2}-9}\,dx=\frac{1}{6}\ln|x-3|-\frac{1}{6}\ln|x+3|+C.
  1. Podemos também escrever como logaritmo de quociente:
\boxed{\displaystyle \frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C.}

Passo 3

Resolvendo (b): \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx.
  1. Fatorizar o denominador: \displaystyle x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
  2. Decomposição:
\frac{x}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
  1. Igualando numeradores:
x = A(x-3)+B(x-2).
  1. Expandir e comparar coeficientes ou usar valores:
  • Para x=2: 2 = A(-1)+B(0)\Rightarrow A=-2.
  • Para x=3: 3 = A(0)+B(1)\Rightarrow B=3.
  1. Assim
\frac{x}{x^{2}-5x+6}=-\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}.
  1. Integrar:
\int \frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx = -2\ln|x-2|+3\ln|x-3|+C.

Passo 4

Resolvendo (c): \displaystyle \int_{3}^{4} \frac{x+3}{(x-1)^{2}}\,dx.
  1. Observação: denomínio é fator repetido (x-1)^{2}. Fazemos decomposição do tipo
\frac{x+3}{(x-1)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}.
  1. Multiplicando por (x-1)^{2}:
x+3 = A(x-1)+B.
  1. Determinar A,B comparando coeficientes:
  • Coeficiente de x: 1 = A\Rightarrow A=1.
  • Constantes: 3 = -A + B = -1 + B \Rightarrow B=4.
  1. Então integrando (função indefinida primeiro):
\int \frac{x+3}{(x-1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx + \int \frac{4}{(x-1)^{2}}\,dx.
Lembrando \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1| e \displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x-1}.
  1. Assim a primitiva é
F(x)=\ln|x-1| - \frac{4}{x-1} + C.
  1. Avaliar no intervalo [3,4]:
F(4)=\ln(3)-\frac{4}{3},\qquad F(3)=\ln(2)-2.
  1. Subtraindo:
\int_{3}^{4} \frac{x+3}{(x-1)^{2}}\,dx = \big(\ln 3-\tfrac{4}{3}\big) - \big(\ln 2-2\big) = \ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right) + \frac{2}{3}.

Passo 5

Resolvendo (d): \displaystyle \int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-2x+1}\,dx.
  1. Observação: grau do numerador ( 3) é maior que grau do denominador ( 2). Fazemos divisão de polinômios primeiro.
  2. Divisão: dividir x^{3}+0x^{2}+x+1 por x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
  • Primeiro termo: x^{3}/x^{2}=x. Multiplicando: x(x^{2}-2x+1)=x^{3}-2x^{2}+x.
  • Subtraindo: resta 2x^{2}+0x. Acrescentando o +1 do numerador: 2x^{2}+0x+1.
  • Próximo termo: 2x^{2}/x^{2}=2. Multiplicando: 2(x^{2}-2x+1)=2x^{2}-4x+2.
  • Subtraindo: resto 4x-1.
Logo
\frac{x^{3}+x+1}{(x-1)^{2}} = x+2 + \frac{4x-1}{(x-1)^{2}}.
  1. Agora decomponha a fração própria \dfrac{4x-1}{(x-1)^{2}} como
\frac{4x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}.
  1. Multiplicando por (x-1)^{2}:
4x-1 = A(x-1)+B.
Comparando coeficientes: A=4 (coeficiente de x). Constante: -1 = -A + B \Rightarrow B=3.
  1. Assim o integrando é
x+2 + \frac{4}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^{2}}.
  1. Integrando termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 2\,dx = 2x,
\int \frac{4}{x-1}\,dx = 4\ln|x-1|,\qquad \int \frac{3}{(x-1)^{2}}\,dx = -\frac{3}{x-1}.
  1. Portanto a primitiva geral é
\boxed{\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+2x+4\ln|x-1|-\frac{3}{x-1}+C.}

Passo 6

Resolvendo (e): \displaystyle \int \frac{x^{2}+2}{x^{2}-4}\,dx.
  1. Observação: grau do numerador igual ao do denominador. Podemos separar
\frac{x^{2}+2}{x^{2}-4} = 1 + \frac{6}{x^{2}-4},
porque x^{2}+2 = (x^{2}-4) + 6.
  1. Portanto
\int \frac{x^{2}+2}{x^{2}-4}\,dx = \int 1\,dx + 6\int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx = x + 6\int \frac{1}{(x-2)(x+2)}\,dx.
  1. Decompor \dfrac{1}{(x-2)(x+2)}:
\frac{1}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando: 1 = A(x+2)+B(x-2). Colocando x=2\Rightarrow 1=4A\Rightarrow A=\tfrac{1}{4}. Colocando x=-2\Rightarrow 1=-4B\Rightarrow B=-\tfrac{1}{4}.
  1. Como temos um fator 6 multiplicando, obtemos
6\cdot\frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{6}{4}\cdot\frac{1}{x-2} - \frac{6}{4}\cdot\frac{1}{x+2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-2} - \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+2}.
  1. Integrando:
\int \frac{x^{2}+2}{x^{2}-4}\,dx = x + \frac{3}{2}\ln|x-2| - \frac{3}{2}\ln|x+2| + C.
  1. Podemos escrever de forma condensada:
\boxed{\displaystyle x + \frac{3}{2}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C.}

Passo 7

Resolvendo (f): \displaystyle \int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx.
  1. Fatores lineares distintos, decompor:
\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3},
com A,B,C constantes.
  1. Multiplicando por x(x-2)(x+3):
x+1 = A(x-2)(x+3) + B x(x+3) + C x(x-2).
  1. Determinar A,B,C usando valores convenientes:
  • x=0: 1 = A(-2)(3) = -6A \Rightarrow A=-\dfrac{1}{6}.
  • x=2: 3 = B\cdot2\cdot5 = 10B \Rightarrow B=\dfrac{3}{10}.
  • x=-3: -2 = C\cdot(-3)\cdot(-5)=15C \Rightarrow C=-\dfrac{2}{15}.
  1. Assim a decomposição é
\frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} = -\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x} + \frac{3}{10}\cdot\frac{1}{x-2} - \frac{2}{15}\cdot\frac{1}{x+3}.
  1. Integrando termo a termo:
\int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)}\,dx = -\frac{1}{6}\ln|x| + \frac{3}{10}\ln|x-2| - \frac{2}{15}\ln|x+3| + C.

Passo 8

Resolvendo (g): [\displaystyle \int \frac{x{4}+x+1}{x{3}-x},dx).
  1. Primeiro fatorar o denominador: x^{3}-x = x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1).
  2. Observação: grau do numerador ( 4) maior que o do denominador ( 3). Fazer divisão de polinômios.
  3. Divisão: dividir x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+x+1 por x^{3}-x.
  • Primeiro termo: x^{4}/x^{3}=x. Multiplicando: x(x^{3}-x)=x^{4}-x^{2}.
  • Subtraindo: resto x^{2}+x+1 (grau menor que 3), então
\frac{x^{4}+x+1}{x^{3}-x} = x + \frac{x^{2}+x+1}{x^{3}-x}.
  1. Agora decompor a fração própria
\frac{x^{2}+x+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}.
  1. Multiplicando por x(x-1)(x+1):
x^{2}+x+1 = A(x-1)(x+1) + B x(x+1) + C x(x-1).
  1. Expandir e coletar coeficientes (ou usar pontos):
    Expandindo os termos:
A(x^{2}-1) + B(x^{2}+x) + C(x^{2}-x) = (A+B+C)x^{2} + (B-C)x + (-A).
Comparando com x^{2}+x+1 resulta no sistema:
\begin{cases} A+B+C = 1,\\\ B-C = 1,\\\\ -A = 1. \end{cases}
Da terceira equação A=-1\]. Substituindo nas outras: \[-1 + B + C = 1 \Rightarrow B + C = 2,\] e \(B - C = 1. Somando as duas últimas: 2B = 3 \Rightarrow B = \tfrac{3}{2}. Então C = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.
  1. Assim
\frac{x^{2}+x+1}{x(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.
  1. Finalmente integrar tudo (lembrando do termo resultante da divisão):
\int \frac{x^{4}+x+1}{x^{3}-x}\,dx = \int x\,dx + \int\left(-\frac{1}{x} + \frac{3}{2}\frac{1}{x-1} + \frac{1}{2}\frac{1}{x+1}\right)dx.
  1. Integrando termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln|x|,\quad \int \frac{3}{2}\frac{1}{x-1}dx=\frac{3}{2}\ln|x-1|,
\int \frac{1}{2}\frac{1}{x+1}dx = \frac{1}{2}\ln|x+1|.
  1. Portanto a primitiva é
\boxed{\displaystyle \frac{x^{2}}{2} - \ln|x| + \frac{3}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C.}

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C
\displaystyle -2\ln|x-2|+3\ln|x-3|+C
\displaystyle \ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)+\tfrac{2}{3}
\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+2x+4\ln|x-1|-\frac{3}{x-1}+C
\displaystyle x+\frac{3}{2}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C
\displaystyle -\frac{1}{6}\ln|x|+\frac{3}{10}\ln|x-2|-\frac{2}{15}\ln|x+3|+C
\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-\ln|x|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C

Exercícios relacionados