Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
a) \int \frac{1}{x^{2}-9} d x
b) \int \frac{x}{x^{2}-5 x+6} d x
c) \int_{3}^{4} \frac{x+3}{(x-1)^{2}} d x
d) \int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-2 x+1} d x
e) \int \frac{x^{2}+2}{x^{2}-4} d x
f) \int \frac{x+1}{x(x-2)(x+3)} d x
g) \int \frac{x^{4}+x+1}{x^{3}-x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular sete integrais por frações parciais. Vou listar claramente cada integral que devemos resolver:
Informações úteis (que vamos usar para todas as integrais):
Frações parciais: quando uma função racional tem denominador que se fatoriza em fatores lineares simples ou repetidos, escrevemos a decomposição com constantes desconhecidas (por exemplo, A/(x-a) para fator simples e B/(x-a)^{2} para fator repetido) e determinamos essas constantes.
Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, primeiro fazemos divisão de polinômios para obter um polinômio + uma fração própria (grau do numerador menor que o denominador).
Integrais básicas que usaremos:
\displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
\displaystyle \int (x-a)^{-n}\,dx = \frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1} + C para n\neq1; em particular \displaystyle \int \frac{1}{(x-a)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x-a}+C.
Agora eu começo a resolver cada item passo a passo.
Da terceira equação A=-1\]. Substituindo nas outras:
\[-1 + B + C = 1 \Rightarrow B + C = 2,\]
e \(B - C = 1. Somando as duas últimas: 2B = 3 \Rightarrow B = \tfrac{3}{2}. Então C = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.