4 Calcule a integral
, fazendo a substituição
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
fazendo a substituição
. As informações relevantes que temos são:
- a substituição sugerida:
; - precisamos transformar
e em termos de e então integrar em ; - no final devemos voltar para a variável
.
Passo 2
Calcule
em função de
. Se
, derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Portanto
Passo 3
Expresse
em termos de
. Como
,
Agora substituímos na integral original:
Simplificando
com um dos fatores do denominador,
Portanto a integral em
se reduz a
.
Passo 4
Para integrar
usamos a identidade de duplicação (fórmula de redução):
Essa identidade vem da fórmula
, resolvendo para
. Substituindo,
Passo 5
Integramos termo a termo. A integral de
é
. Para
, lembramos que
. Então
Somando e acrescentando a constante de integração
,
Passo 6
Simplificamos
usando a identidade
. Assim
Portanto uma forma conveniente da primitiva em
é
Passo 7
Voltemos para a variável
. Como
, desenhamos mentalmente um triângulo retângulo onde o ângulo
tem tangente
. Tomando cateto oposto =
e adjacente =
, a hipotenusa é
. Assim
Multiplicando,
Passo 8
Substituindo
e
na primitiva em
, obtemos a antiderivada em
:
Podemos escrever de forma compacta: