4 Calcule a integral \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x, fazendo a substituição x=\tan t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx
fazendo a substituição x=\tan t. As informações relevantes que temos são:
  • a substituição sugerida: x=\tan t;
  • precisamos transformar dx e x^{2}+1 em termos de t e então integrar em t;
  • no final devemos voltar para a variável x.

Passo 2

Calcule dx em função de t. Se x=\tan t, derivando ambos os lados em relação a t obtemos
\frac{dx}{dt}=\operatorname{sec}^{2}t.
Portanto
dx=\operatorname{sec}^{2}t\,dt.

Passo 3

Expresse x^{2}+1 em termos de t. Como x=\tan t,
x^{2}+1=\tan^{2}t+1=\operatorname{sec}^{2}t.
Agora substituímos na integral original:
\int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{\left(\operatorname{sec}^{2}t\right)^{2}}\cdot \operatorname{sec}^{2}t\,dt.
Simplificando \operatorname{sec}^{2}t com um dos fatores do denominador,
\int \frac{1}{\left(\operatorname{sec}^{2}t\right)^{2}}\cdot \operatorname{sec}^{2}t\,dt = \int \frac{1}{\operatorname{sec}^{2}t}\,dt = \int \cos^{2}t\,dt.
Portanto a integral em x se reduz a \int \cos^{2}t\,dt.

Passo 4

Para integrar \cos^{2}t usamos a identidade de duplicação (fórmula de redução):
\cos^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}.
Essa identidade vem da fórmula \cos 2t = 2\cos^{2}t-1, resolvendo para \cos^{2}t. Substituindo,
\int \cos^{2}t\,dt = \int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int 1\,dt + \frac{1}{2}\int \cos 2t\,dt.

Passo 5

Integramos termo a termo. A integral de 1 é t. Para \cos 2t, lembramos que \int \cos(k t)\,dt = \frac{1}{k}\sin(k t). Então
\frac{1}{2}\int 1\,dt = \frac{1}{2}t, \qquad \frac{1}{2}\int \cos 2t\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2t = \frac{1}{4}\sin 2t.
Somando e acrescentando a constante de integração C,
\int \cos^{2}t\,dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t + C.

Passo 6

Simplificamos \sin 2t usando a identidade \sin 2t = 2\sin t\cos t. Assim
\frac{1}{4}\sin 2t = \frac{1}{4}\cdot 2\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin t\cos t.
Portanto uma forma conveniente da primitiva em t é
\int \cos^{2}t\,dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\sin t\cos t + C.

Passo 7

Voltemos para a variável x. Como t=\arctan x, desenhamos mentalmente um triângulo retângulo onde o ângulo t tem tangente x. Tomando cateto oposto = x e adjacente = 1, a hipotenusa é \sqrt{1+x^{2}}. Assim
\sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},\qquad \cos t = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Multiplicando,
\sin t\cos t = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} = \frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 8

Substituindo t=\arctan x e \sin t\cos t=\dfrac{x}{1+x^{2}} na primitiva em t, obtemos a antiderivada em x:
\frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\sin t\cos t + C = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^{2}} + C.
Podemos escrever de forma compacta:
\frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^{2})} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^{2})} + C

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