2 Resolva a integral:
\int \frac{2 x^{3}-11 x^{2}+20 x-1}{x^{2}-5 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{2 x^{3}-11 x^{2}+20 x-1}{x^{2}-5 x+6}\,dx.
Informações dadas:
\text{Numerador: }2 x^{3}-11 x^{2}+20 x-1, \qquad \text{Denominador: }x^{2}-5 x+6.
Objetivo: encontrar uma primitiva (integral indefinida) da função racional dada.

Passo 2

Observação importante (por enquanto só observando): o grau do numerador é 3 e o grau do denominador é 2. Quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador, o passo inicial padrão é fazer a divisão polinomial para escrever a função como um polinômio mais uma fração própria (com numerador de grau menor que o denominador). Vou fazer essa divisão polinomial passo a passo.
Dividindo
2 x^{3}-11 x^{2}+20 x-1
por
x^{2}-5 x+6:
o primeiro termo do quociente é \dfrac{2 x^{3}}{x^{2}}=2 x. Multiplico o divisor por 2 x:
2 x\cdot(x^{2}-5 x+6)=2 x^{3}-10 x^{2}+12 x.
Subtraio esse produto do numerador:
(2 x^{3}-11 x^{2}+20 x-1)-(2 x^{3}-10 x^{2}+12 x) = -x^{2}+8 x-1.
Agora divido -x^{2} por x^{2}, obtendo -1. Multiplico o divisor por -1:
-1\cdot(x^{2}-5 x+6) = -x^{2}+5 x-6.
Subtraio:
(-x^{2}+8 x-1)-(-x^{2}+5 x-6)=3 x+5.
Portanto a divisão dá quociente 2 x-1 e resto 3 x+5. Assim
\frac{2 x^{3}-11 x^{2}+20 x-1}{x^{2}-5 x+6} = 2 x-1 + \frac{3 x+5}{x^{2}-5 x+6}.

Passo 3

Com isso a integral se separa em duas partes:
\int \frac{2 x^{3}-11 x^{2}+20 x-1}{x^{2}-5 x+6}\,dx = \int (2 x-1)\,dx + \int \frac{3 x+5}{x^{2}-5 x+6}\,dx.
A primeira integral é direta. Lembrete rápido: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C e \int a\,dx = a x + C para a constante. Então
\int (2 x-1)\,dx = \int 2 x\,dx - \int 1\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} - x = x^{2}-x.

Passo 4

Falta integrar a fração própria
\int \frac{3 x+5}{x^{2}-5 x+6}\,dx.
Primeiro fatoro o denominador (isso ajuda a usar frações parciais):
x^{2}-5 x+6 = (x-2)(x-3).
Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, faço decomposição em frações parciais:
\frac{3 x+5}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3},
onde A\) e \(B\) são constantes a determinar. Somando as frações do lado direito obtém-se \[\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}.
Igualando numeradores:
3 x+5 = A(x-3)+B(x-2).
Desenvolvo o lado direito:
A(x-3)+B(x-2) = (A+B)x + (-3A-2B).
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante), obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B = 3,\\[4pt] -3A-2B = 5. \end{cases}
Resolvo o sistema. De A=3-B\]. Substituo na segunda equação: \[-3(3-B)-2B = 5 \implies -9+3B-2B =5 \implies -9+B=5 \implies B=14.\] Então \(A=3-B=3-14=-11.
Portanto
\frac{3 x+5}{(x-2)(x-3)} = \frac{-11}{x-2}+\frac{14}{x-3}.]

Passo 5

Agora integro termo a termo. Lembrete: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a|+C. Assim
\int \frac{3 x+5}{x^{2}-5 x+6}\,dx = \int\!\left(\frac{-11}{x-2}+\frac{14}{x-3}\right)\,dx = -11\int \frac{1}{x-2}\,dx + 14\int\frac{1}{x-3}\,dx.
Integrando:
-11\int \frac{1}{x-2}\,dx = -11\ln|x-2|,\qquad 14\int \frac{1}{x-3}\,dx = 14\ln|x-3|.
Somando com a parte polinomial que já tínhamos, a primitiva completa é
x^{2}-x -11\ln|x-2| +14\ln|x-3| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x^{2}-x-11\ln|x-2|+14\ln|x-3|+C

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