2 Resolva a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
Objetivo: encontrar uma primitiva (integral indefinida) da função racional dada.
Passo 2
Observação importante (por enquanto só observando): o grau do numerador é
e o grau do denominador é
. Quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador, o passo inicial padrão é fazer a divisão polinomial para escrever a função como um polinômio mais uma fração própria (com numerador de grau menor que o denominador). Vou fazer essa divisão polinomial passo a passo.
Dividindo
por
o primeiro termo do quociente é
. Multiplico o divisor por
:
Subtraio esse produto do numerador:
Agora divido
por
, obtendo
. Multiplico o divisor por
:
Subtraio:
Portanto a divisão dá quociente
e resto
. Assim
Passo 3
Com isso a integral se separa em duas partes:
A primeira integral é direta. Lembrete rápido:
e
para
constante. Então
Passo 4
Falta integrar a fração própria
Primeiro fatoro o denominador (isso ajuda a usar frações parciais):
Como o denominador é produto de fatores lineares distintos, faço decomposição em frações parciais:
onde
Igualando numeradores:
Desenvolvo o lado direito:
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante), obtemos o sistema:
Resolvo o sistema. De
.
Portanto
Passo 5
Agora integro termo a termo. Lembrete:
. Assim
Integrando:
Somando com a parte polinomial que já tínhamos, a primitiva completa é
onde
é a constante de integração.