Calcule a integral.
\int e^{2 x} \operatorname{sen} 3 x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
I = \int e^{2x}\sin(3x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes aplicada duas vezes para resolver integrais do tipo \int e^{ax}\sin(bx)\,dx.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{2x}\sin(3x)\,dx
e aplicamos integração por partes escolhendo
\displaystyle u = e^{2x} (logo du = 2e^{2x}\,dx) e
\displaystyle dv = \sin(3x)\,dx (logo v = -\tfrac{1}{3}\cos(3x)).
Assim,
I = uv - \int v\,du = -\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr)\,2e^{2x}\,dx = -\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \tfrac{2}{3}\int e^{2x}\cos(3x)\,dx.
Denotamos
J = \int e^{2x}\cos(3x)\,dx,
ficando
I = -\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \tfrac{2}{3}J.

Passo 3

Agora calculamos
J = \int e^{2x}\cos(3x)\,dx
por partes, escolhendo
\displaystyle u = e^{2x} (logo du=2e^{2x}\,dx) e
\displaystyle dv=\cos(3x)\,dx (logo v=\tfrac{1}{3}\sin(3x)).
Temos
J = uv - \int v\,du = \tfrac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \int \tfrac{1}{3}\sin(3x)\,2e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \tfrac{2}{3}\int e^{2x}\sin(3x)\,dx.
Ou seja,
J = \tfrac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \tfrac{2}{3}I.

Passo 4

Substituímos J em
\displaystyle I = -\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \tfrac{2}{3}J:
I = -\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \tfrac{2}{3}\Bigl(\tfrac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \tfrac{2}{3}I\Bigr) = -\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \tfrac{2}{9}e^{2x}\sin(3x) - \tfrac{4}{9}I.
Reorganizando para isolar I:
I + \tfrac{4}{9}I = \tfrac{13}{9}I = -\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \tfrac{2}{9}e^{2x}\sin(3x).
Logo
I = \frac{9}{13}\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \tfrac{2}{9}e^{2x}\sin(3x)\Bigr) = e^{2x}\,\frac{2\sin(3x)-3\cos(3x)}{13} + C.

Resposta

\int e^{2x}\sin(3x)\,dx = e^{2x}\,\frac{2\sin(3x)-3\cos(3x)}{13} + C.

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