CALCULE A INTEGRAL
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[e^{x} \operatorname{sen}(2 x)\right] d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[e^{x}\,\operatorname{sen}(2x)\right]\,dx.
Informações dadas:
  • Função integranda: e^{x}\operatorname{sen}(2x).
  • Limites de integração: x=0 a x=\dfrac{\pi}{4}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou relembrar a fórmula e explicar o que cada símbolo significa.
A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função escolhida (dependendo de x);
  • dv é outra parte da integranda escolhida de forma que seja fácil integrar dv;
  • du é a derivada de u em relação a x (ou seja, du = u'(x)\,dx);
  • v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx).
    A ideia prática: escolher u e dv para que \int v\,du seja mais simples do que a integral original.

Passo 3

Aplicando integração por partes à integral indefinida
A=\int e^{x}\sin(2x)\,dx,
faço a primeira escolha:
  • u=\sin(2x) então du=2\cos(2x)\,dx;
  • dv=e^{x}\,dx então v=e^{x}.
    Pela fórmula,
A = e^{x}\sin(2x) - \int e^{x}\cdot 2\cos(2x)\,dx = e^{x}\sin(2x) - 2\int e^{x}\cos(2x)\,dx.
Defino
B=\int e^{x}\cos(2x)\,dx,
para escrever
A = e^{x}\sin(2x) - 2B.

Passo 4

Agora calculo B por integração por partes também. Para B=\int e^{x}\cos(2x)\,dx escolho:
  • u=\cos(2x) então du=-2\sin(2x)\,dx;
  • dv=e^{x}\,dx então v=e^{x}.
    Pela fórmula,
B = e^{x}\cos(2x) - \int e^{x}\cdot(-2\sin(2x))\,dx = e^{x}\cos(2x) + 2\int e^{x}\sin(2x)\,dx.
Como \int e^{x}\sin(2x)\,dx = A, obtemos
B = e^{x}\cos(2x) + 2A.

Passo 5

Agora substituo essa expressão de B em A = e^{x}\sin(2x) - 2B:
A = e^{x}\sin(2x) - 2\bigl(e^{x}\cos(2x) + 2A\bigr) = e^{x}\sin(2x) - 2e^{x}\cos(2x) - 4A.
Reagrupando os termos com A:
A + 4A = 5A = e^{x}\bigl(\sin(2x) - 2\cos(2x)\bigr).
Logo a primitiva geral é
A=\int e^{x}\sin(2x)\,dx = \frac{1}{5}\,e^{x}\bigl(\sin(2x) - 2\cos(2x)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração. Observação: este é um resultado padrão para integrais do tipo \int e^{ax}\sin(bx)\,dx ou \int e^{ax}\cos(bx)\,dx; o procedimento típico é aplicar partes duas vezes e resolver linearmente para a integral.

Passo 6

Agora uso a primitiva para avaliar a integral definida. Defino a primitiva
F(x)=\frac{1}{5}\,e^{x}\bigl(\sin(2x) - 2\cos(2x)\bigr).
A integral pedida é F\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-F(0).
Calculo F\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right). Para x=\dfrac{\pi}{4} temos 2x=\dfrac{\pi}{2}, portanto \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Assim
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{5}\,e^{\frac{\pi}{4}}\bigl(1-2\cdot 0\bigr)=\frac{1}{5}\,e^{\frac{\pi}{4}}.
Calculo F(0). Para x=0 temos \sin(0)=0 e \cos(0)=1. Assim
F(0)=\frac{1}{5}\,e^{0}\bigl(0-2\cdot 1\bigr)=\frac{1}{5}\cdot(-2)=-\frac{2}{5}.
Portanto a integral definida vale
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)=\frac{1}{5}\,e^{\frac{\pi}{4}} - \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{5}\left(e^{\frac{\pi}{4}}+2\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\left(e^{\frac{\pi}{4}}+2\right)

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