CALCULE A INTEGRAL
Passo 1
O problema pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Função integranda:
. - Limites de integração:
a .
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. Vou relembrar a fórmula e explicar o que cada símbolo significa.
A fórmula da integração por partes é
A fórmula da integração por partes é
onde:
-
é uma função escolhida (dependendo de ); -
é outra parte da integranda escolhida de forma que seja fácil integrar ; -
é a derivada de em relação a (ou seja, ); -
é uma primitiva de (ou seja, ).
A ideia prática: escolhere para que seja mais simples do que a integral original.
Passo 3
Aplicando integração por partes à integral indefinida
faço a primeira escolha:
-
então ; -
então .
Pela fórmula,
Defino
para escrever
Passo 4
Agora calculo
por integração por partes também. Para
escolho:
-
então ; -
então .
Pela fórmula,
Como
, obtemos
Passo 5
Agora substituo essa expressão de
em
:
Reagrupando os termos com
:
Logo a primitiva geral é
onde
é a constante de integração. Observação: este é um resultado padrão para integrais do tipo
ou
; o procedimento típico é aplicar partes duas vezes e resolver linearmente para a integral.
Passo 6
Agora uso a primitiva para avaliar a integral definida. Defino a primitiva
A integral pedida é
.
Calculo
. Para
temos
, portanto
e
. Assim
Calculo
. Para
temos
e
. Assim
Portanto a integral definida vale