DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int[3 \operatorname{sen}(x)-4 \cos (x)] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar uma primitiva (antiderivada) de \displaystyle \int\bigl[3\operatorname{sen}(x)-4\cos(x)\bigr]\,dx.
  • Verificar a primitiva encontrada derivando-a.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 3\operatorname{sen}(x)-4\cos(x).
  • Deve aparecer a constante de integração C na primitiva.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais (fórmula que vamos usar): para constantes a,b e funções f(x),g(x),
\int\bigl(a\,f(x)+b\,g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aqui a=3, f(x)=\operatorname{sen}(x), b=-4, g(x)=\cos(x). Vamos aplicar essa regra para separar a integral em duas integrais mais simples.

Passo 3

Conhecer as primitivass básicas de seno e cosseno:
  • A derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x). Portanto uma primitiva de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x), ou seja,
\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x)+C.
  • A derivada de \sin(x) (ou \operatorname{sen}(x) em português) é \cos(x). Portanto uma primitiva de \cos(x) é \sin(x), ou seja,
\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C.
Explicação rápida: primitiva é uma função cuja derivada dá a função original; por exemplo \dfrac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr) = -(-\operatorname{sen}(x)) = \operatorname{sen}(x).

Passo 4

Aplicando a linearidade e as primitivas básicas termo a termo:
\int\bigl[3\operatorname{sen}(x)-4\cos(x)\bigr]\,dx = 3\int\operatorname{sen}(x)\,dx - 4\int\cos(x)\,dx.
Usando as primitivas:
3\int\operatorname{sen}(x)\,dx = 3\bigl(-\cos(x)\bigr) = -3\cos(x),
-4\int\cos(x)\,dx = -4\sin(x).
Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, uma primitiva F(x) é
F(x) = -3\cos(x) - 4\sin(x) + C.

Passo 5

Verificação por derivação (temos que mostrar que F'(x) retorna o integrando):
Calcular a derivada de F(x):
F(x) = -3\cos(x) - 4\sin(x) + C.
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x), \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x), derivada de constante é 0):
F'(x) = -3\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr) - 4\cdot\cos(x) + 0 = 3\operatorname{sen}(x) - 4\cos(x).
Isso é exatamente o integrando original, portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

F(x)=-3\cos(x)-4\sin(x)+C
Verificação: F'(x)=3\operatorname{sen}(x)-4\cos(x)

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