DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar uma primitiva (antiderivada) de
. - Verificar a primitiva encontrada derivando-a.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Deve aparecer a constante de integração
na primitiva.
Passo 2
Regra de linearidade das integrais (fórmula que vamos usar): para constantes
e funções
,
Aqui
,
,
,
. Vamos aplicar essa regra para separar a integral em duas integrais mais simples.
Passo 3
Conhecer as primitivass básicas de seno e cosseno:
- A derivada de
é . Portanto uma primitiva de é , ou seja,
- A derivada de
(ou em português) é . Portanto uma primitiva de é , ou seja,
Explicação rápida: primitiva é uma função cuja derivada dá a função original; por exemplo
.
Passo 4
Aplicando a linearidade e as primitivas básicas termo a termo:
Usando as primitivas:
Somando os resultados e incluindo a constante de integração
, uma primitiva
é
Passo 5
Verificação por derivação (temos que mostrar que
retorna o integrando):
Calcular a derivada de :
Calcular a derivada de
Derivando termo a termo (regra:
,
, derivada de constante é
):
Isso é exatamente o integrando original, portanto a primitiva encontrada está correta.
Resposta
Verificação: