DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[-2 \operatorname{sec} ^{2}(x)+\operatorname{cossec}(x) \operatorname{cotg}(x)\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função dentro do integrando:
  • Determinar uma primitiva de \int\left[-2 \operatorname{sec}^{2}(x)+\csc(x)\cot(x)\right]\,dx.
  • Verificar que essa primitiva está correta derivando-a e mostrando que se recupera o integrando.
Informações dadas (explicitadas): o integrando é a soma de dois termos trigonométricos -2\operatorname{sec}^{2}(x) e \csc(x)\cot(x). Não há condições adicionais (domínio, etc.), então vamos buscar uma primitiva válida em um intervalo onde as funções trigonométricas estão definidas.

Passo 2

Usar a linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Assim:
\int\left[-2\operatorname{sec}^{2}(x)+\csc(x)\cot(x)\right]\,dx = -2\int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx + \int \csc(x)\cot(x)\,dx.
Agora integramos cada termo separadamente.

Passo 3

Integral do primeiro termo: \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Lembrar do fato básico (e vamos justificar): a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Prova rápida:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Aplicando a regra do quociente,
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \tan x + C.
Como há o fator -2, obtemos
-2\int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = -2\tan x + C_1.

Passo 4

Integral do segundo termo: \displaystyle \int \csc(x)\cot(x)\,dx.
Também há uma primitiva imediata conhecida: a derivada de \csc x é -\csc x\cot x. Vejamos uma demonstração curta usando \csc x = 1/\sin x:
\frac{d}{dx}\csc x = \frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)^{-1} = -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\csc x\cot x.
Portanto, como \dfrac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x, segue que
\int \csc(x)\cot(x)\,dx = -\csc x + C_2.

Passo 5

Juntando os dois resultados (e absorvendo C_1 e C_2 numa constante única C), uma primitiva geral é
F(x) = -2\tan x - \csc x + C.

Passo 6

Verificação por diferenciação: calcular F'(x) e checar se coincide com o integrando.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-2\tan x\bigr) = -2\operatorname{sec}^{2}x,
\frac{d}{dx}\bigl(-\csc x\bigr) = -\bigl(-\csc x\cot x\bigr)=\csc x\cot x.
Somando,
F'(x) = -2\operatorname{sec}^{2}x + \csc x\cot x,
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-2\tan x - \csc x + C

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