DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função dentro do integrando:
- Determinar uma primitiva de
. - Verificar que essa primitiva está correta derivando-a e mostrando que se recupera o integrando.
Informações dadas (explicitadas): o integrando é a soma de dois termos trigonométricos
e
. Não há condições adicionais (domínio, etc.), então vamos buscar uma primitiva válida em um intervalo onde as funções trigonométricas estão definidas.
Passo 2
Usar a linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Assim:
Agora integramos cada termo separadamente.
Passo 3
Integral do primeiro termo:
.
Lembrar do fato básico (e vamos justificar): a derivada de
é
. Prova rápida:
Aplicando a regra do quociente,
Portanto
.
Como há o fator
, obtemos
Passo 4
Integral do segundo termo:
.
Também há uma primitiva imediata conhecida: a derivada de
é
. Vejamos uma demonstração curta usando
:
Portanto, como
, segue que
Passo 5
Juntando os dois resultados (e absorvendo
e
numa constante única
), uma primitiva geral é
Passo 6
Verificação por diferenciação: calcular
e checar se coincide com o integrando.
Derivando termo a termo:
Somando,
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.