Calcule a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{tg}^{2} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{2}(2x)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de função trigonométrica usando a identidade
\tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1.

Passo 2

Aplicamos a identidade com \theta=2x:
\tan^{2}(2x) = \operatorname{sec}^{2}(2x) - 1.
Assim,
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{2}(2x)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \bigl(\operatorname{sec}^{2}(2x)-1\bigr)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx \;-\; \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1\,dx.

Passo 3

Calculamos cada parcela:
Para \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx, usamos a substituição direta reconhecendo que a derivada de \tan(2x) é 2\operatorname{sec}^{2}(2x). Logo,
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\tan(2x).
E
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Substituindo no intervalo de 0 a \pi/6, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{2}(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\tan(2x) - x\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \Bigl(\frac{1}{2}\tan\bigl(2\cdot\frac{\pi}{6}\bigr) - \frac{\pi}{6}\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{2}\tan(0)-0\Bigr).
Como \tan(\pi/3)=\sqrt{3} e \tan(0)=0, isso vira
\frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{\pi}{6}.

Passo 5

Podemos deixar em forma única com denominador 6:
\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}.

Resposta

\frac{3\sqrt{3}-\pi}{6}.

Exercícios relacionados