Calcule a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{tg}^{2} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{2}(2x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade que relaciona \tan^2 e \operatorname{sec}^2.

Passo 2

Usamos a identidade
\tan^{2}\theta + 1 = \operatorname{sec}^{2}\theta
para escrever
\tan^{2}(2x) = \operatorname{sec}^{2}(2x) - 1.

Passo 3

Então a integral fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{2}(2x)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\bigl[\operatorname{sec}^{2}(2x)-1\bigr]\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}1\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\tan(2x),
pois \frac{d}{dx}\bigl[\tan(2x)\bigr]=2\operatorname{sec}^{2}(2x).
E
\int 1\,dx = x.
Logo a primitiva é
F(x)=\frac{1}{2}\tan(2x)-x.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo em F(x) de 0 a \tfrac{\pi}{6}:
F\Bigl(\tfrac{\pi}{6}\Bigr)-F(0) =\Bigl[\tfrac{1}{2}\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-\tfrac{\pi}{6}\Bigr] -\bigl[0-0\bigr] =\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}.

Resposta

\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}

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