Calcule a integral
\int \operatorname{sec} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(2x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição simples para encaixar na fórmula clássica
\displaystyle \int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
\displaystyle u = 2x,
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\displaystyle du = 2\,dx ou \displaystyle dx = \frac{du}{2}.
Assim, a integral vira
\int \operatorname{sec}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 3

Aplicamos a fórmula conhecida para a integral de \operatorname{sec}(u):
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u) + \tan(u)\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x (substituindo u=2x), obtemos
\int \operatorname{sec}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x) + \tan(2x)\bigr| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x) + \tan(2x)\bigr| + C

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