Calcule a integral:
\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a primitiva de \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, que é \arcsin(x), e a regra de Barrow para integrais definidas.

Passo 2

Calculamos a primitiva de \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(x)\bigr] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},
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\int \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = 4\,\arcsin(x) + C.

Passo 3

Aplicando a regra de Barrow, temos
\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = 4\arcsin\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) \;-\; 4\arcsin(1).
Como \arcsin(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) = \tfrac{\pi}{4} e \arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}, segue
4\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr) - 4\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \pi - 2\pi = -\pi.

Resposta

-\pi

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