Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{4x+3y}{2x+y}
e pede (i) mostrar que ela é homogênea, (ii) resolver, (iii) desenhar o campo de direções e algumas curvas integrais, e (iv) verificar se essas curvas são simétricas em relação à origem. O conteúdo usado será equações homogêneas e a substituição y=vx.

Passo 2

Para mostrar homogeneidade, definimos
f(x,y) = -\frac{4x+3y}{2x+y}.
Calculamos
f(tx,ty) = -\frac{4\,(tx)+3\,(ty)}{2\,(tx)+(ty)} = -\frac{4x+3y}{2x+y} = f(x,y).
Como f(tx,ty)=f(x,y), a equação é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazemos a substituição y=vx, logo
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
No lado direito,
-\,\frac{4x+3y}{2x+y} = -\,\frac{4x+3(vx)}{2x + (vx)} = -\,\frac{4+3v}{2+v}.
Igualando as duas expressões,
v + x\frac{dv}{dx} = -\,\frac{4+3v}{2+v} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} = -\,\frac{4+3v}{2+v}-v = -\,\frac{v^2+5v+4}{v+2}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{v+2}{(v+1)(v+4)}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Fazendo frações parciais,
\frac{v+2}{(v+1)(v+4)} = \frac{1/3}{v+1} + \frac{2/3}{v+4},
temos
\int\!\Bigl(\frac{1/3}{v+1} + \frac{2/3}{v+4}\Bigr)dv = -\int\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\ln|v+1|+\frac{2}{3}\ln|v+4| = -\ln|x| + C.

Passo 5

Multiplicando por 3 e exponenciando,
\ln|v+1| +2\ln|v+4| = -3\ln|x| + C' \quad\Longrightarrow\quad |v+1|\,(v+4)^2 = C\,x^{-3}.
Voltando a v=y/x,
\frac{y+x}{x}\,\Bigl(\frac{y+4x}{x}\Bigr)^{\!2} = C\,x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad (y+x)\,(y+4x)^2 = C.
Essa é a solução geral implícita.

Passo 6

O campo de direções em (x,y) tem inclinação
m(x,y) = -\frac{4x+3y}{2x+y}.
Note que
m(-x,-y) = -\frac{4(-x)+3(-y)}{2(-x)+(-y)} = -\frac{-4x-3y}{-2x - y} = -\frac{4x+3y}{2x+y} = m(x,y),
logo o campo é simétrico por rotação de 180^\circ em torno da origem. Por exemplo, em (1,0) a inclinação vale -4/2=-2, em (0,1) vale -3, e em (1,1) vale -7/3.

Passo 7

Cada curva integral dada por
F(x,y) = (y+x)(y+4x)^2 = C
se transforma, ao trocar (x,y)\mapsto(-x,-y), em
F(-x,-y) = -(y+x)(y+4x)^2 = -C.
Isto significa que a curva de constante C passa para a curva de constante -C. Assim, individualmente (para C\neq0) elas não são simétricas pela origem, exceto o caso C=0 (as retas y=-x e y=-4x). Porém, a família completa de soluções é simétrica em relação à origem, trocando C por -C.

Resposta

A equação é homogênea. A solução geral implícita é
(y+x)\,(y+4x)^2 = C.
O campo de direções é simétrico por rotação de 180^\circ em torno da origem. As curvas integrais individuais não são, em geral, simétricas pela origem (salvo C=0), mas a família completa é simétrica trocando C por -C.

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