Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede (i) mostrar que ela é homogênea, (ii) resolver, (iii) desenhar o campo de direções e algumas curvas integrais, e (iv) verificar se essas curvas são simétricas em relação à origem. O conteúdo usado será equações homogêneas e a substituição
.
Passo 2
Para mostrar homogeneidade, definimos
Calculamos
Como
, a equação é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazemos a substituição
, logo
No lado direito,
Igualando as duas expressões,
Passo 4
Separamos variáveis:
Fazendo frações parciais,
temos
Passo 5
Multiplicando por 3 e exponenciando,
Voltando a
,
Essa é a solução geral implícita.
Passo 6
O campo de direções em
tem inclinação
Note que
logo o campo é simétrico por rotação de
em torno da origem. Por exemplo, em
a inclinação vale
, em
vale
, e em
vale
.
Passo 7
Cada curva integral dada por
se transforma, ao trocar
, em
Isto significa que a curva de constante
passa para a curva de constante
. Assim, individualmente (para
) elas não são simétricas pela origem, exceto o caso
(as retas
e
). Porém, a família completa de soluções é simétrica em relação à origem, trocando
por
.
Resposta
A equação é homogênea. A solução geral implícita é
O campo de direções é simétrico por rotação de
em torno da origem. As curvas integrais individuais não são, em geral, simétricas pela origem (salvo
), mas a família completa é simétrica trocando
por
.