Calcule a integral:
\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \frac{8}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \frac{8}{1+x^{2}}\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de função do tipo \frac{1}{1+x^2}, cuja antiderivada é \arctan(x). Também vamos usar a propriedade de fator constante na integral.

Passo 2

Extraímos a constante 8 da integral:
\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \frac{8}{1+x^{2}}\,dx = 8 \int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Sabendo que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr) = \frac{1}{1+x^2},
temos a antiderivada
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x) + C.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo,
8 \int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = 8\Bigl[\arctan(x)\Bigr]_{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}^{x=\sqrt{3}} = 8\bigl(\arctan(\sqrt{3}) - \arctan\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\bigr)\bigr).

Passo 5

Calculamos os valores das funções arco-tangente:
\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}, \qquad \arctan\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\bigr) = \frac{\pi}{6}.
Logo,
\arctan(\sqrt{3}) - \arctan\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\bigr) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}.

Passo 6

Substituindo de volta:
8 \times \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}.

Resposta

\frac{4\pi}{3}

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