Calcule a integral:
\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x

Passo 1

Resumindo, o enunciado pede para calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} x^{\tfrac12}\,dx.
Isso é uma integral de potência; vamos usar a regra de potência para antiderivadas.

Passo 2

A regra geral é
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.
Aqui temos n=\tfrac12, logo n+1=\tfrac32. Uma primitiva adequada é
F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{\tfrac12}\,dx = F(1) - F(0) = \frac{2}{3}\cdot1^{\tfrac32} - \frac{2}{3}\cdot0^{\tfrac32} = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

Exercícios relacionados