Calcule a integral.
\int \frac{1}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\sqrt{5-4x - x^{2}}}\,dx.
Este é um caso de integral envolvendo raiz quadrada de polinômio de segundo grau. Para resolver, vamos primeiro completar o quadrado no radicando e em seguida usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 5 - 4x - x^{2}. Reescrevendo o sinal, temos
5 - 4x - x^{2} = -(x^{2} + 4x - 5).
Dentro do parêntese,
x^{2} + 4x - 5 = (x+2)^{2} - 4 - 5 = (x+2)^{2} - 9,
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5 - 4x - x^{2} = -\bigl((x+2)^{2} - 9\bigr) = 9 - (x+2)^{2}.
A integral torna-se
\int \frac{1}{\sqrt{9 - (x+2)^{2}}}\,dx.

Passo 3

Para eliminar a raiz, usamos a substituição trigonométrica
x + 2 = 3\sin\theta.
Então
dx = 3\cos\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{9 - (x+2)^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}\theta} = 3\cos\theta.
Substituindo na integral,
\int \frac{1}{3\cos\theta} \cdot 3\cos\theta\,d\theta = \int d\theta.

Passo 4

A integral em \theta é imediata:
\int d\theta = \theta + C.
Voltando à variável x, de x+2=3\sin\theta vem
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x+2}{3}\bigr).
Portanto a antiderivada é
\arcsin\!\bigl(\tfrac{x+2}{3}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{5-4x - x^{2}}}\,dx = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x+2}{3}\bigr) + C.

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