Calcule a integral.
\int \frac{x}{x^{4}+2 x^{2}+10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+10}\,dx.
O conteúdo principal é o uso de substituição para reduzir o grau do polinômio no denominador. Vamos precisar de uma substituição do tipo u=x^2.

Passo 2

Fazendo u = x^2 temos \,du = 2x\,dx, ou seja, x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du. Substituindo na integral:
\int \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+10}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2} + 2u + 10}.

Passo 3

No denominador completamos o quadrado:
u^{2} + 2u + 10 = (u+1)^{2} + 9.
Assim a integral fica
\frac{1}{2}\int \frac{du}{(u+1)^{2} + 3^{2}}.

Passo 4

Fazendo a mudança v = u+1 (logo dv = du), o integrando passa a ser do tipo \int dv/(v^{2}+3^{2}). Então
\frac{1}{2}\int \frac{du}{(u+1)^{2}+9} = \frac{1}{2}\int \frac{dv}{v^{2}+3^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{v}{3}\Bigr) + C = \frac{1}{6}\arctan\!\Bigl(\frac{v}{3}\Bigr) + C.

Passo 5

Volta às variáveis originais: v = u+1 = x^{2}+1. Logo a primitiva é
\frac{1}{6}\arctan\!\Bigl(\frac{x^{2}+1}{3}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x^{2}+1}{3}\bigr) + C

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