Calcule a integral.
\int_{-1}^{1} x^{5} \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{1} x^{5}\operatorname{cosh} x \,dx.
Aqui vamos usar o conceito de paridade de funções (funções pares e ímpares) e a simetria de integrais definidas em intervalos do tipo [-a,a].

Passo 2

Observamos que \operatorname{cosh} x é uma função par, pois
\operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh} x,
enquanto x^{5} é ímpar, pois
(-x)^{5}=-\,x^{5}.
O produto de uma função par por uma função ímpar é sempre ímpar:
f(x)=x^{5}\operatorname{cosh} x \quad\Longrightarrow\quad f(-x)=-\,x^{5}\operatorname{cosh} x=-f(x).

Passo 3

Para qualquer função ímpar f integrável em [-a,a] vale
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
Como nosso integrando é ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero, concluímos que a integral vale zero.

Resposta

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