Calcule a integral.
\int \frac{e^{x}}{e^{2 x}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\,dx,
que envolve uma função racional em e^{x}. Para resolver, vamos usar substituição simples para transformar em uma integral de função racional elementar e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x},
então
du = e^{x}\,dx
e a integral original fica
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\,dx =\int \frac{du}{u^{2}-1}.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}-1}, usamos frações parciais:
\frac{1}{u^{2}-1} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\Bigr).
Logo,
\int \frac{du}{u^{2}-1} =\frac{1}{2}\int\Bigl(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\Bigr)\,du =\frac{1}{2}\bigl(\ln|u-1|-\ln|u+1|\bigr)+C.

Passo 4

Voltando para x por u=e^{x}, obtemos
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(\ln\bigl|e^{x}-1\bigr|-\ln\bigl|e^{x}+1\bigr|\Bigr)+C =\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\Bigr|+C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\Bigr|+C.

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