Calcule a integral.
\int \frac{2 x^{2}-1}{(4 x-1)(x^{2}+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}-1}{(4 x-1)(x^{2}+1)}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A integranda é a função racional \dfrac{2 x^{2}-1}{(4 x-1)(x^{2}+1)}.
  • O denominador está fatorado como (4x-1)(x^{2}+1).
  • O pedido é encontrar uma primitiva (a antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais. Explico por que isso é adequado e o que significa, passo a passo, sem pular etapas.
  • Quando temos uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com \deg P < \deg Q (numerador de grau menor que denominador), é comum decompor em frações mais simples cuja integral é conhecida.
  • Aqui o denominador já está fatorado em um fator linear (4x-1) e um fator quadrático irreduzível (x^{2}+1). A forma padrão de decomposição para esses fatores é
\frac{A}{4x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Vou mostrar por que esse formato: para cada fator linear usamos uma constante no numerador; para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador de grau 1 (ou seja, Bx+C).

Passo 3

Verificação prévia: grau do numerador vs denominador.
  • O numerador tem grau 2 (porque 2x^{2}-1).
  • O denominador tem grau 3 (produto de um grau 1 por um grau 2).
    Como \deg \text{numerador} < \deg \text{denominador}, a decomposição em frações parciais sem divisão polinomial é válida.

Passo 4

Escrevemos a decomposição proposta e eliminamos o denominador comum para obter uma igualdade de polinômios:
\frac{2 x^{2}-1}{(4 x-1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{4x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (4x-1)(x^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
2x^{2}-1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(4x-1).

Passo 5

Expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x. Primeiro expandimos (Bx+C)(4x-1):
(Bx+C)(4x-1) = 4B x^{2} + (4C - B) x - C.
Somando A(x^{2}+1) temos
A(x^{2}+1) + (Bx+C)(4x-1) = (A + 4B) x^{2} + (4C - B) x + (A - C).

Passo 6

Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 2x^{2}+0\cdot x -1\), obtemos o sistema linear para \(A,B,C\): \[\begin{cases} A + 4B = 2,\\[4pt] 4C - B = 0,\\[4pt] A - C = -1. \end{cases}
Agora resolvemos passo a passo:
  • Da segunda equação 4C - B = 0\] segue \(B = 4C.
  • Da terceira equação A - C = -1 segue A = C - 1.
  • Substituindo A e B na primeira equação:
(C - 1) + 4(4C) = 2.
Isto é
C - 1 + 16C = 2 \quad\Rightarrow\quad 17C - 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad 17C = 3.
Portanto
C = \frac{3}{17}.
Então
B = 4C = \frac{12}{17}, \qquad A = C - 1 = \frac{3}{17} - 1 = -\frac{14}{17}.]

Passo 7

Reescrevemos a decomposição com os valores encontrados:
\frac{2 x^{2}-1}{(4 x-1)(x^{2}+1)} = -\frac{14}{17}\cdot\frac{1}{4x-1} + \frac{12}{17}\cdot\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{3}{17}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.
Logo a integral se separa em três integrais mais simples:
\int \frac{2 x^{2}-1}{(4 x-1)(x^{2}+1)}\,dx = -\frac{14}{17}\int\frac{1}{4x-1}\,dx + \frac{12}{17}\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx + \frac{3}{17}\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente, usando substituições padrões e fórmulas conhecidas. Vou explicar cada fórmula usada.
  1. Integral de \dfrac{1}{a x + b}:
  • Fórmula: \displaystyle \int \frac{1}{a x+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|a x+b| + C.
  • Justificativa rápida: com u = a x + b temos du = a\,dx, então \int \frac{1}{ax+b}dx = \int \frac{1}{u}\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\ln|u| + C.
Aplicando ao primeiro termo com a=4, obtemos
\int \frac{1}{4x-1}\,dx = \frac{1}{4}\ln|4x-1| + C.
  1. Integral de \dfrac{x}{x^{2}+1}:
  • Substituição padrão: u = x^{2}+1 então du = 2x\,dx, assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C.
  1. Integral de \dfrac{1}{x^{2}+1}:
  • Fórmula conhecida: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.

Passo 9

Agora aplicamos as constantes aos resultados das integrais:
  • Primeiro termo:
-\frac{14}{17}\int\frac{1}{4x-1}\,dx = -\frac{14}{17}\cdot\frac{1}{4}\ln|4x-1| = -\frac{14}{68}\ln|4x-1| = -\frac{7}{34}\ln|4x-1|.
  • Segundo termo:
\frac{12}{17}\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{12}{17}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) = \frac{6}{17}\ln(x^{2}+1).
  • Terceiro termo:
\frac{3}{17}\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \frac{3}{17}\arctan x.

Passo 10

Somando os três resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva completa:
-\frac{7}{34}\ln|4x-1| + \frac{6}{17}\ln(x^{2}+1) + \frac{3}{17}\arctan x + C.
Dica rápida: se quiser checar, derive essa expressão e você volta à função original; esse é o teste padrão para verificar integrais.

Resposta

-\dfrac{7}{34}\ln|4x-1|+\dfrac{6}{17}\ln(x^{2}+1)+\dfrac{3}{17}\arctan x+C

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