Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A integranda é a função racional
. - O denominador está fatorado como
. - O pedido é encontrar uma primitiva (a antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais. Explico por que isso é adequado e o que significa, passo a passo, sem pular etapas.
- Quando temos uma função racional
com (numerador de grau menor que denominador), é comum decompor em frações mais simples cuja integral é conhecida. - Aqui o denominador já está fatorado em um fator linear
e um fator quadrático irreduzível . A forma padrão de decomposição para esses fatores é
onde
são constantes a determinar. Vou mostrar por que esse formato: para cada fator linear usamos uma constante no numerador; para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador de grau 1 (ou seja,
).
Passo 3
Verificação prévia: grau do numerador vs denominador.
- O numerador tem grau
(porque ). - O denominador tem grau
(produto de um grau 1 por um grau 2).
Como, a decomposição em frações parciais sem divisão polinomial é válida.
Passo 4
Escrevemos a decomposição proposta e eliminamos o denominador comum para obter uma igualdade de polinômios:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de
. Primeiro expandimos
:
Somando
temos
Passo 6
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo
Agora resolvemos passo a passo:
- Da segunda equação .
- Da terceira equação
segue . - Substituindo
e na primeira equação:
Isto é
Portanto
Então
Passo 7
Reescrevemos a decomposição com os valores encontrados:
Logo a integral se separa em três integrais mais simples:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente, usando substituições padrões e fórmulas conhecidas. Vou explicar cada fórmula usada.
- Integral de
:
- Fórmula:
. - Justificativa rápida: com
temos , então .
Aplicando ao primeiro termo com
, obtemos
- Integral de
:
- Substituição padrão:
então , assim
- Integral de
:
- Fórmula conhecida:
.
Passo 9
Agora aplicamos as constantes aos resultados das integrais:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 10
Somando os três resultados e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva completa:
Dica rápida: se quiser checar, derive essa expressão e você volta à função original; esse é o teste padrão para verificar integrais.