Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações fornecidas relevantes:
- A função a integrar é uma função racional com denominador
. - O integrando não está definido em
e em (pontos singulares). - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que .
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método usado):
- Quando temos uma integral de uma função racional cuja ordem do numerador é menor que a do denominador, um método eficiente é a decomposição em frações parciais: escrever a fração como soma de frações mais simples que sabemos integrar.
- Para um fator linear simples
usamos termo do tipo . - Para um fator linear repetido
usamos termos do tipo .
Portanto assumimos a forma
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Eliminando denominadores: multiplicamos ambos os lados por
. Isso dá a igualdade polinomial
Agora vamos expandir os termos do lado direito para igualar coeficientes.
Passo 4
Expandindo cada termo:
Somando-os,
Comparando com o polinômio da esquerda
Da última equação temos imediatamente
vem
. Substituindo
e
na segunda equação:
Passo 5
Assim a decomposição em frações parciais é
Vamos integrar termo a termo.
Passo 6
Fórmulas básicas usadas (explicação didática):
- Sabemos que
. - Em geral
(troca de variável ). - Para potências negativas:
com . Como para , substituindo obtemos . Portanto
Agora aplicamos essas fórmulas aos termos obtidos:
-
. -
. -
Passo 7
Somando as primitivas dos termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva da integral original: