Calcule a integral.
\int \frac{2 x^{2}+3}{x(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}+3}{x(x-1)^{2}}\,dx.
Informações fornecidas relevantes:
  • A função a integrar é uma função racional com denominador x(x-1)^{2}.
  • O integrando não está definido em x=0 e em x=1 (pontos singulares).
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2 x^{2}+3}{x(x-1)^{2}}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método usado):
  • Quando temos uma integral de uma função racional cuja ordem do numerador é menor que a do denominador, um método eficiente é a decomposição em frações parciais: escrever a fração como soma de frações mais simples que sabemos integrar.
  • Para um fator linear simples x usamos termo do tipo \dfrac{A}{x}.
  • Para um fator linear repetido (x-1)^2 usamos termos do tipo \dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2}.
    Portanto assumimos a forma
\frac{2x^2+3}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Eliminando denominadores: multiplicamos ambos os lados por x(x-1)^2. Isso dá a igualdade polinomial
2x^2+3 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx.
Agora vamos expandir os termos do lado direito para igualar coeficientes.

Passo 4

Expandindo cada termo:
A(x-1)^2 = A(x^2-2x+1)=Ax^2-2Ax+A,
Bx(x-1)=B(x^2-x)=Bx^2-Bx,
Cx = Cx.
Somando-os,
A x^2 -2A x + A + B x^2 - B x + C x = (A+B)x^2 + (-2A - B + C)x + A.
Comparando com o polinômio da esquerda 2x^2+0\cdot x + 3\), obtemos o sistema de equações para os coeficientes: \[\begin{cases} A + B = 2,\\[4pt] -2A - B + C = 0,\\[4pt] A = 3. \end{cases}
Da última equação temos imediatamente A=3\]. Substituindo em \(A+B=2 vem B=2-A=2-3=-1. Substituindo A e B na segunda equação:
-2\cdot 3 - (-1) + C = 0 \implies -6 +1 + C = 0 \implies C=5.]

Passo 5

Assim a decomposição em frações parciais é
\frac{2x^2+3}{x(x-1)^2}=\frac{3}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{5}{(x-1)^2}.
Vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Fórmulas básicas usadas (explicação didática):
  • Sabemos que \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
  • Em geral \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C (troca de variável u=x-a).
  • Para potências negativas: \displaystyle \int (x-a)^{-2}\,dx=\int u^{-2}\,du com u=x-a. Como \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, substituindo n=-2 obtemos \displaystyle \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}. Portanto
\int \frac{1}{(x-a)^2}\,dx = -\frac{1}{x-a}+C.
Agora aplicamos essas fórmulas aos termos obtidos:
  • \displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x|.
  • \displaystyle \int \left(-\frac{1}{x-1}\right)dx = -\ln|x-1|.
  • \displaystyle \int \frac{5}{(x-1)^2}\,dx = 5\int (x-1)^{-2}\,dx = 5\left(-\frac{1}{x-1}\right) = -\frac{5}{x-1}.

Passo 7

Somando as primitivas dos termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva da integral original:
F(x)=3\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{5}{x-1}+C.

Resposta

3\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{5}{x-1}+C

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