Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é uma função racional: numerador
(polinômio de grau ) e denominador (polinômio de grau ). - O numerador tem grau menor que o denominador, portanto a função é própria (não precisamos fazer divisão polinomial).
- O denominador fatorou em um fator linear distinto
e um fator linear repetido . - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Escolha do método: decomposição em frações parciais.
Por que isso funciona aqui? Porque para integrar funções racionais próprias cujo denominador se fatorou em fatores lineares (simples ou repetidos), podemos escrever a função como soma de frações mais simples cuja antiderivada é conhecida (logaritmos ou potências). Para um fator linear simples usamos uma constante sobre
. Para um fator linear repetido
devemos incluir termos para cada potência até a repetição:
.
Por que isso funciona aqui? Porque para integrar funções racionais próprias cujo denominador se fatorou em fatores lineares (simples ou repetidos), podemos escrever a função como soma de frações mais simples cuja antiderivada é conhecida (logaritmos ou potências). Para um fator linear simples
Portanto assumimos a decomposição
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Esta igualdade deve valer para todo
. Vamos usar valores convenientes de
para achar
.
Passo 4
Calcular
usando
. Substituindo
na identidade, os termos com
e
desaparecem porque multiplicam
:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Logo, daí
Passo 5
Calcular
usando
. Substituindo
, os termos com
e
desaparecem porque multiplicam
:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Logo, daí
Passo 6
Calcular
usando a equação dos coeficientes do termo
ou mais simples: da identidade polinomial original, comparando coeficientes do termo
temos
. Já encontramos
, então
Passo 7
Agora temos a decomposição completa:
Verificação rápida (opcional): somando as frações no lado direito daria de volta o numerador original — os valores de
foram obtidos de forma consistente.
Passo 8
Integramos termo a termo. Lembretes úteis:
-
(substituição direta , ). - Para potências:
para . No caso temos , então
Agora cada termo: