Calcule a integral.
\int \frac{2 x^{2}-10 x+4}{(x+1)(x-3)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}-10 x+4}{(x+1)(x-3)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é uma função racional: numerador 2 x^{2}-10 x+4 (polinômio de grau 2) e denominador (x+1)(x-3)^{2} (polinômio de grau 3).
  • O numerador tem grau menor que o denominador, portanto a função é própria (não precisamos fazer divisão polinomial).
  • O denominador fatorou em um fator linear distinto (x+1) e um fator linear repetido (x-3)^{2}.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Escolha do método: decomposição em frações parciais.
Por que isso funciona aqui? Porque para integrar funções racionais próprias cujo denominador se fatorou em fatores lineares (simples ou repetidos), podemos escrever a função como soma de frações mais simples cuja antiderivada é conhecida (logaritmos ou potências). Para um fator linear simples (x+1) usamos uma constante sobre (x+1). Para um fator linear repetido (x-3)^{2} devemos incluir termos para cada potência até a repetição: \dfrac{B}{x-3}+\dfrac{C}{(x-3)^{2}}.
Portanto assumimos a decomposição
\frac{2 x^{2}-10 x+4}{(x+1)(x-3)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^{2}},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x-3)^{2} para obter uma identidade polinomial:
2 x^{2}-10 x+4 = A(x-3)^{2} + B(x+1)(x-3) + C(x+1).
Esta igualdade deve valer para todo x. Vamos usar valores convenientes de x para achar A,B,C.

Passo 4

Calcular A usando x=-1. Substituindo x=-1 na identidade, os termos com B e C desaparecem porque multiplicam x+1:
  • Lado esquerdo: 2(-1)^{2}-10(-1)+4 = 2 + 10 + 4 = 16.
  • Lado direito: A((-1)-3)^{2} = A(-4)^{2} = 16A.
    Logo 16A = 16, daí
A = 1.

Passo 5

Calcular C usando x=3. Substituindo x=3, os termos com A e B desaparecem porque multiplicam x-3:
  • Lado esquerdo: 2\cdot 3^{2} -10\cdot 3 +4 = 18 -30 +4 = -8.
  • Lado direito: C(3+1) = 4C.
    Logo 4C = -8, daí
C = -2.

Passo 6

Calcular B usando a equação dos coeficientes do termo x^{2} ou mais simples: da identidade polinomial original, comparando coeficientes do termo x^{2} temos A+B=2. Já encontramos A=1, então
B = 2 - A = 2 - 1 = 1.

Passo 7

Agora temos a decomposição completa:
\frac{2 x^{2}-10 x+4}{(x+1)(x-3)^{2}}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-3}-\frac{2}{(x-3)^{2}}.
Verificação rápida (opcional): somando as frações no lado direito daria de volta o numerador original — os valores de A,B,C foram obtidos de forma consistente.

Passo 8

Integramos termo a termo. Lembretes úteis:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln|x+a| + C (substituição direta u=x+a, du=dx).
  • Para potências: \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. No caso (x-3)^{-2} temos n=-2, então
\int (x-3)^{-2}\,dx = \frac{(x-3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-3} + C.
Agora cada termo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln|x-3|.
  • \displaystyle \int \left(-\frac{2}{(x-3)^{2}}\right)dx = -2\int (x-3)^{-2}dx = -2\left(-\frac{1}{x-3}\right)=\frac{2}{x-3}.

Resposta

\ln|x+1|+\ln|x-3|+\dfrac{2}{x-3}+C

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