Calcule a integral.
\int \frac{x^{3}-2 x^{2}+2 x-2}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}-2 x^{2}+2 x-2}{x^{2}+1}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é uma função racional: quociente de polinômios.
  • O numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 2 (ou seja, grau do numerador \ge grau do denominador).
  • Como a integral é indefinida, devemos acrescentar uma constante de integração C no final.

Passo 2

Método escolhido: divisão polinomial seguida de integração termo a termo.
Por que? Quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador, a técnica mais simples é dividir os polinômios para separar uma parte polinomial (que integra facilmente) e uma parte propriamente racional com grau do numerador menor que o do denominador (que tratamos com substituição ou decomposição). Isso economiza trabalho na prova e evita decomposição desnecessária.

Passo 3

Façamos a divisão de
x^{3}-2x^{2}+2x-2
por
x^{2}+1.
Passo a passo:
  • Primeiro termo do quociente: \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Multiplicando o divisor por x obtemos x^{3}+x.
  • Subtraindo: (x^{3}-2x^{2}+2x-2)-(x^{3}+x)=-2x^{2}+x-2.
  • Próximo termo do quociente: \dfrac{-2x^{2}}{x^{2}}=-2. Multiplicando o divisor por -2 obtemos -2x^{2}-2.
  • Subtraindo: (-2x^{2}+x-2)-(-2x^{2}-2)=x.
Logo o quociente é x-2 e o resto é x. Assim temos a igualdade
\frac{x^{3}-2x^{2}+2x-2}{x^{2}+1}=x-2+\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Reescrevendo a integral usando a divisão feita:
\int \frac{x^{3}-2x^{2}+2x-2}{x^{2}+1}\,dx=\int\Bigl(x-2+\frac{x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.
Agora vamos integrar termo a termo:
\int\Bigl(x-2+\frac{x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx=\int x\,dx-\int 2\,dx+\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 5

Integramos os dois primeiros termos (polinomiais):
  • Fórmula usada: \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}, porque a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} é x.
  • Fórmula usada: \displaystyle \int 2\,dx=2x, porque a derivada de 2x é 2.
Portanto
\int x\,dx-\int 2\,dx=\frac{x^{2}}{2}-2x.

Passo 6

Integramos o termo \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx usando substituição:
  • Seja u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{du}{2}.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|+C.
  • Como u=x^{2}+1>0 para todo x, podemos remover as barras de valor absoluto:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 7

Juntando todas as partes (lembrando de somar uma única constante de integração C):
\int \frac{x^{3}-2x^{2}+2x-2}{x^{2}+1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-2x+\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.
Pronto — chegamos à antiderivada de forma direta. Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar outro exemplo parecido para treinar.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}-2x+\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C

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