Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- O integrando é uma função racional: quociente de polinômios.
- O numerador tem grau
e o denominador tem grau (ou seja, grau do numerador grau do denominador). - Como a integral é indefinida, devemos acrescentar uma constante de integração
no final.
Passo 2
Método escolhido: divisão polinomial seguida de integração termo a termo.
Por que? Quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador, a técnica mais simples é dividir os polinômios para separar uma parte polinomial (que integra facilmente) e uma parte propriamente racional com grau do numerador menor que o do denominador (que tratamos com substituição ou decomposição). Isso economiza trabalho na prova e evita decomposição desnecessária.
Por que? Quando o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador, a técnica mais simples é dividir os polinômios para separar uma parte polinomial (que integra facilmente) e uma parte propriamente racional com grau do numerador menor que o do denominador (que tratamos com substituição ou decomposição). Isso economiza trabalho na prova e evita decomposição desnecessária.
Passo 3
Façamos a divisão de
por
Passo a passo:
- Primeiro termo do quociente:
. Multiplicando o divisor por obtemos . - Subtraindo:
. - Próximo termo do quociente:
. Multiplicando o divisor por obtemos . - Subtraindo:
Logo o quociente é
e o resto é
. Assim temos a igualdade
Passo 4
Reescrevendo a integral usando a divisão feita:
Agora vamos integrar termo a termo:
Passo 5
Integramos os dois primeiros termos (polinomiais):
- Fórmula usada:
, porque a derivada de é . - Fórmula usada:
, porque a derivada de é .
Portanto
Passo 6
Integramos o termo
usando substituição:
- Seja
. Então , ou seja . - Substituindo na integral:
- Como
para todo , podemos remover as barras de valor absoluto:
Passo 7
Juntando todas as partes (lembrando de somar uma única constante de integração
):
Pronto — chegamos à antiderivada de forma direta. Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar outro exemplo parecido para treinar.