Calcule a integral.
\int \sqrt[3]{x}(1-\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \sqrt[3]{x}\,(1-\sqrt{x})\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções potência. Para isso, vamos usar a propriedade
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
e as regras de soma de expoentes.

Passo 2

Reescrevendo em potências:
\sqrt[3]{x} = x^{1/3} e \sqrt{x} = x^{1/2}.
Portanto o integrando fica
x^{1/3}(1 - x^{1/2}) = x^{1/3} - x^{1/3 + 1/2} = x^{1/3} - x^{5/6}.
Assim
\int \sqrt[3]{x}(1-\sqrt{x})\,dx = \int x^{1/3}\,dx \;-\;\int x^{5/6}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência em cada termo:
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}\,x^{4/3},
\int x^{5/6}\,dx = \frac{x^{5/6 + 1}}{5/6 + 1} = \frac{x^{11/6}}{11/6} = \frac{6}{11}\,x^{11/6}.
Logo,
\int \sqrt[3]{x}(1-\sqrt{x})\,dx = \frac{3}{4}\,x^{4/3} \;-\; \frac{6}{11}\,x^{11/6} + C.

Resposta

\frac{3}{4}\,x^{4/3} - \frac{6}{11}\,x^{11/6} + C.

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