Calcule a integral.
\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2}+12 x-5}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+12x-5}}\,dx.
Este é um caso de integral do tipo \int \!dx/\sqrt{ax^{2}+bx+c}. Para resolver, vamos completar o quadrado no polinômio quadrático e em seguida usar a fórmula padrão
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}} =\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-a^{2}}\bigr|+C.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 9x^{2}+12x-5:
9x^{2}+12x-5 =9\Bigl(x^{2}+\tfrac{4}{3}x\Bigr)-5 =9\Bigl((x+\tfrac{2}{3})^{2}-\tfrac{4}{9}\Bigr)-5.
Distribuindo,
9\bigl((x+\tfrac{2}{3})^{2}-\tfrac{4}{9}\bigr)-5 =9(x+\tfrac{2}{3})^{2}-4-5 =9\bigl((x+\tfrac{2}{3})^{2}-1\bigr).

Passo 3

Logo
\sqrt{9x^{2}+12x-5} =3\sqrt{(x+\tfrac{2}{3})^{2}-1}.
Assim a integral vira
\int \frac{1}{3\sqrt{(x+\tfrac{2}{3})^{2}-1}}\,dx =\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\tfrac{2}{3})^{2}-1}}.
Fazendo a mudança de variável
u = x+\tfrac{2}{3}, \quad du = dx,
temos
\frac{1}{3}\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula conhecida
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} =\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C.
Portanto
\frac{1}{3}\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}} =\frac{1}{3}\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr|+C.

Passo 5

Voltando à variável x (ou seja, u = x+\tfrac{2}{3}), obtemos
\frac{1}{3}\ln\Bigl|x+\tfrac{2}{3}+\sqrt{\,(x+\tfrac{2}{3})^{2}-1}\Bigr|+C.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{9x^{2}+12x-5}} =\frac{1}{3}\,\ln\Bigl|x+\tfrac{2}{3}+\sqrt{(x+\tfrac{2}{3})^{2}-1}\Bigr|+C.

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