Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 4} \cos ^{5} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{\pi/4} \cos^{5}\theta \,d\theta.
O conteúdo envolvido é integração de potências ímpares de cosseno. Vamos usar a identidade \cos^{5}\theta = \cos^{4}\theta\cos\theta = (1-\sin^{2}\theta)^{2}\cos\theta e a substituição u=\sin\theta.

Passo 2

Escrevendo a integral em função de u:
\cos^{5}\theta = (1-\sin^{2}\theta)^{2}\cos\theta,
logo com u=\sin\theta e du=\cos\theta\,d\theta temos os limites
\theta=0\implies u=0, \quad \theta=\pi/4\implies u=\frac{\sqrt{2}}{2},
e a integral vira
I = \int_{0}^{\sqrt{2}/2}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 3

Expandindo o quadrado:
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4},
então
I = \int_{0}^{\sqrt{2}/2}\bigl(1 - 2u^{2} + u^{4}\bigr)\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva termo a termo:
\int(1 - 2u^{2} + u^{4})\,du = u - \frac{2u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5}.
Logo
I = \left[u - \frac{2u^{3}}{3} + \frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{\sqrt{2}/2}.

Passo 5

Avalia em u=\sqrt{2}/2:
u = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad u^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4},\quad u^{5} = \frac{\sqrt{2}}{8}.
Então
I = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{8} = \sqrt{2}\Bigl(\tfrac12 - \tfrac16 + \tfrac{1}{40}\Bigr).

Passo 6

Somando os coeficientes dentro do parênteses com denominador comum 120:
\tfrac12 = \tfrac{60}{120},\quad \tfrac16 = \tfrac{20}{120},\quad \tfrac1{40} = \tfrac{3}{120},
\tfrac{60 - 20 + 3}{120} = \tfrac{43}{120}.
Logo
I = \sqrt{2}\,\frac{43}{120} = \frac{43\sqrt{2}}{120}.

Resposta

\frac{43\sqrt{2}}{120}

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