Calcule a integral.
\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{4}}}\,dx.
O conteúdo envolvido é mudança de variável (substituição) para transformar a raiz de uma expressão quadrática num integral padrão de arco‐seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Substituindo na integral original:
\int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{4}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}\,\frac{du}{2} = \tfrac12 \int \frac{du}{\sqrt{16 - u^{2}}}.

Passo 3

Reconhecemos o integral padrão
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C,
com a = 4. Logo,
\tfrac12 \int \frac{du}{\sqrt{16 - u^{2}}} = \tfrac12\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{u}{4}\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u = x^{2}, obtemos
\frac12\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{4}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{4}}}\,dx = \frac12\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x^{2}}{4}\Bigr) + C.

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