Calcule a integral.
\int_{1}^{3}|\ln (x / 2)| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{1}^{3}|\ln(x/2)|\,dx.
O conteúdo é integrais de valor absoluto: para resolver, dividimos o intervalo no ponto onde \ln(x/2) muda de sinal.

Passo 2

A equação
\ln(x/2)=0
é satisfeita em x=2. Em [1,2] temos \ln(x/2)<0, então |\ln(x/2)|=-\ln(x/2). Em [2,3] \ln(x/2)>0, então |\ln(x/2)|=\ln(x/2). Logo
\int_{1}^{3}|\ln(x/2)|\,dx =\int_{1}^{2}-\ln(x/2)\,dx +\int_{2}^{3}\ln(x/2)\,dx.

Passo 3

Na primeira parte escrevemos
-\ln(x/2)=-\ln x+\ln2,
portanto
\int_{1}^{2}-\ln(x/2)\,dx =-\int_{1}^{2}\ln x\,dx+\ln2\int_{1}^{2}dx.
Como
\int\ln x\,dx=x\ln x - x,
temos
\int_{1}^{2}\ln x\,dx =\bigl(2\ln2-2\bigr)-\bigl(1\ln1-1\bigr) =2\ln2-1,
logo
\int_{1}^{2}-\ln(x/2)\,dx =-(2\ln2-1)+\ln2\cdot1 =1-\ln2.

Passo 4

Na segunda parte escrevemos
\ln(x/2)=\ln x-\ln2,
logo
\int_{2}^{3}\ln(x/2)\,dx =\int_{2}^{3}\ln x\,dx-\ln2\int_{2}^{3}dx.
De novo
\int_{2}^{3}\ln x\,dx =\bigl(3\ln3-3\bigr)-\bigl(2\ln2-2\bigr) =3\ln3-2\ln2-1,
assim
\int_{2}^{3}\ln(x/2)\,dx =(3\ln3-2\ln2-1)-\ln2\cdot1 =3\ln3-3\ln2-1.

Passo 5

Somando as duas partes:
\int_{1}^{3}|\ln(x/2)|\,dx =(1-\ln2)+(3\ln3-3\ln2-1) =3\ln3-4\ln2.
Isto pode também ser escrito como
3\ln3-4\ln2 =\ln(3^3)-\ln(2^4) =\ln\!\bigl(\tfrac{27}{16}\bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl(\tfrac{27}{16}\bigr)

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