Calcule a integral:
\int \frac{x{3}}{\sqrt{9-\mathrm{x}{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x^3raiz9 - x^2,dx
O conteúdo principal aqui é “integração por substituição”, pois vemos uma função composta do tipo (9 - x^2)^-1/2 e sua derivada está presente (em parte) no integrando.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 9 - x^2
Então
du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -12,du

Passo 3

Reescrevemos x^3,dx como x^2cdot x,dx. Como x^2 = 9 - u, temos
x^3,dx = x^2cdot x,dx = (9 - u)l(-tfrac12dur) = -tfrac12(9 - u),du
Além disso, raiz9 - x^2 = raizu = u^1/2.

Passo 4

Substituindo na integral original,
integral x^3raiz9 - x^2,dx = integral -tfrac12(9 - u)u^1/2,du = -tfrac12integral l(9u^-1/2 - u^1/2r),du
Agora integramos termo a termo:
integral 9u^-1/2,du = 9cdot 2u^1/2 = 18u^1/2, integral u^1/2,du = tfrac23u^3/2
Logo
-tfrac12l(18u^1/2 - tfrac23u^3/2r) = -9u^1/2 + tfrac13u^3/2 + C

Passo 5

Voltando a x pela relação u=9 - x^2, temos
u^1/2 = raiz9 - x^2, u^3/2 = (9 - x^2)raiz9 - x^2
Então
-9raiz9 - x^2 + tfrac13(9 - x^2)raiz9 - x^2 = -tfrac13(x^2 + 18)raiz9 - x^2 + C

Resposta

-13l(x^2 + 18r)raiz9 - x^2 + C

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