Calcule a integral:
\int \frac{\ln \left(x{2}+1\right)}{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral lnl(x^2+1r)x^2;dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um logarítmico dividido por x^2.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes:
u = lnl(x^2+1r), dv = x^-2,dx
Assim u é a parte mais complexa (o logaritmo) e dv é simples de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = ddxlnl(x^2+1r),dx = 2xx^2+1,dx,
v = integral x^-2,dx = -,1x

Passo 4

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
integral ln(x^2+1)x^2,dx = ln(x^2+1),l(-1xr) - integral l(-1xr),2xx^2+1,dx
= -ln(x^2+1)x + 2integral 1x^2+1,dx

Passo 5

Reconhecemos que
integral 1x^2+1,dx = arctan(x)
Logo
2integral 1x^2+1,dx = 2,arctan(x)

Passo 6

Reunindo tudo, a primitiva fica
-ln(x^2+1)x + 2,arctan(x) + C

Resposta

-lnl(x^2+1r)x + 2,arctan(x) + C

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