Mostre que existe uma raiz da equação dada abaixo no intervalo especificado.
-x^11+3 x^8=100 pi ;(-infty,+infty)

Passo 1

Vamos definir a função
f(x) = -x^11 + 3x^8 - 100pi
no intervalo (-infty,infty). Como f é um polinômio subtraído de uma constante, ela é contínua em todo R. Nosso objetivo é mostrar que existe cin(-infty,infty) tal que f(c)=0. Para isso, usaremos o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que se f é contínua em [a,b] e f(a)cdot f(b)<0, então existe cin(a,b) com f(c)=0.

Passo 2

Escolhemos dois pontos onde f muda de sinal. Seja x1 = -10. Calculamos
f(-10) = -(-10)^11 + 3(-10)^8 - 100pi = 10^11 + 3cdot10^8 - 100pi
Como 10^11 e 3cdot10^8 são enormes em comparação a 100pi, temos
f(-10) > 0

Passo 3

Agora escolhemos x2 = 0. Calculamos
f(0) = -0^11 + 3cdot0^8 - 100pi = -100pi < 0
Portanto, f(-10)>0 e f(0)<0, logo f(-10)cdot f(0)<0.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua em [-10,0] e muda de sinal em -10 e 0, existe cin(-10,0)subset(-infty,infty) tal que
f(c)=0

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação -x^11+3x^8=100pi em (-infty,infty), de fato em algum cin(-10,0).

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