Mostre que existe uma raiz da equação dada abaixo no intervalo especificado.
x^3-15 x+1=0 ;[-4,4]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
f(x)=x^3-15x+1=0
tem pelo menos uma raiz no intervalo [-4,4]. Como f é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo R. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 2

Calcular f(-4).
f(-4)=(-4)^3-15cdot(-4)+1=-64+60+1=-3
Logo, f(-4)=-3<0.

Passo 3

Calcular f(4).
f(4)=4^3-15cdot4+1=64-60+1=5
Logo, f(4)=5>0.

Passo 4

Como f é contínua em [-4,4] e f(-4)=-3<0 enquanto f(4)=5>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe algum cin(-4,4) tal que
f(c)=0

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz de x^3-15x+1=0 no intervalo [-4,4].

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