Calcule a integral. \int \frac{4 x}{x^{3}+x^{2}+x+1} d x
Passo 1
O enunciado dá a integral
\int \frac{4x}{x^{3}+x^{2}+x+1}\,dx
e pede que calculemos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função racional. Informação relevante: o numerador é 4x e o denominador é o polinômio x^{3}+x^{2}+x+1. A tarefa é encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{4x}{x^{3}+x^{2}+x+1}.
Passo 2
Olhemos o denominador: às vezes polinômios com termos agrupáveis podem ser fatorados. Vou tentar fatoração por agrupamento em dois blocos:
Como ambos os blocos têm o fator comum (x+1), podemos escrever
x^{3}+x^{2}+x+1 = (x^{2}+1)(x+1).
Isso é útil porque transformou o denominador em produto de um fator linear (x+1) e um quadrático irreduzível (x^{2}+1).
Passo 3
Para integrar uma razão onde o denominador é produto de fatores simples e quadráticos distintos, um caminho natural é decompor em frações parciais. A forma geral apropriada aqui é
onde A,B,C são constantes reais a determinar. Explico por que essa forma: para um fator linear (x+1) usamos constante A no numerador; para o fator quadrático irreduzível (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C.
Passo 4
Multiplico ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) para eliminar denominadores e obtenho uma igualdade de polinômios:
4x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).
Agora vou expandir o lado direito passo a passo:
A(x^{2}+1) = A x^{2} + A,
(Bx+C)(x+1) = Bx^{2} + (B+C)x + C.
Somando:
A x^{2} + A + B x^{2} + (B+C)x + C = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Comparando com o lado esquerdo 4x, que é 0x^{2} + 4x + 0, obtemos o sistema de coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] B + C = 4,\\[4pt] A + C = 0. \end{cases}]