Calcule a integral.
\int \frac{4 x}{x^{3}+x^{2}+x+1} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int \frac{4x}{x^{3}+x^{2}+x+1}\,dx
e pede que calculemos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função racional. Informação relevante: o numerador é 4x e o denominador é o polinômio x^{3}+x^{2}+x+1. A tarefa é encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{4x}{x^{3}+x^{2}+x+1}.

Passo 2

Olhemos o denominador: às vezes polinômios com termos agrupáveis podem ser fatorados. Vou tentar fatoração por agrupamento em dois blocos:
x^{3}+x^{2}+x+1 = (x^{3}+x^{2}) + (x+1).
Agora fatoro cada bloco:
x^{3}+x^{2} = x^{2}(x+1),\qquad x+1 = 1\cdot (x+1).
Como ambos os blocos têm o fator comum (x+1), podemos escrever
x^{3}+x^{2}+x+1 = (x^{2}+1)(x+1).
Isso é útil porque transformou o denominador em produto de um fator linear (x+1) e um quadrático irreduzível (x^{2}+1).

Passo 3

Para integrar uma razão onde o denominador é produto de fatores simples e quadráticos distintos, um caminho natural é decompor em frações parciais. A forma geral apropriada aqui é
\frac{4x}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes reais a determinar. Explico por que essa forma: para um fator linear (x+1) usamos constante A no numerador; para o fator quadrático irreduzível (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) para eliminar denominadores e obtenho uma igualdade de polinômios:
4x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).
Agora vou expandir o lado direito passo a passo:
A(x^{2}+1) = A x^{2} + A,
(Bx+C)(x+1) = Bx^{2} + (B+C)x + C.
Somando:
A x^{2} + A + B x^{2} + (B+C)x + C = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Comparando com o lado esquerdo 4x, que é 0x^{2} + 4x + 0, obtemos o sistema de coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] B + C = 4,\\[4pt] A + C = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo o sistema. Das duas últimas equações:
A+C=0 \implies C=-A,
A+B=0 \implies B=-A.
Substituindo em B+C=4:
(-A)+(-A)=4 \implies -2A=4 \implies A=-2.
Então
B=-A=2,\qquad C=-A=2.
Logo os coeficientes são A=-2, B=2, C=2.

Passo 6

Substituo os coeficientes na decomposição:
\frac{4x}{(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{-2}{x+1} + \frac{2x+2}{x^{2}+1}.
Agora separo o segundo termo para integrar mais facilmente:
\frac{2x+2}{x^{2}+1} = \frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{2}{x^{2}+1}.
Portanto
\frac{4x}{x^{3}+x^{2}+x+1} = -\frac{2}{x+1} + \frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{2}{x^{2}+1}.

Passo 7

Integro termo a termo. Vou explicar cada antiderivada:
  1. Para o termo -\dfrac{2}{x+1}:
  • Sabemos que \dfrac{d}{dx}\big(\ln|x+1|\big)=\dfrac{1}{x+1}.
  • Logo,
\int -\frac{2}{x+1}\,dx = -2\ln|x+1|.
  1. Para o termo \dfrac{2x}{x^{2}+1}:
  • Faço a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx.
  • Isso transforma a integral em \int \dfrac{du}{u}=\ln|u| + C.
  • Voltando a x:
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \ln(x^{2}+1).
(Obs.: x^{2}+1>0 sempre, então podemos escrever \ln(x^{2}+1) sem valor absoluto.)
  1. Para o termo \dfrac{2}{x^{2}+1}:
  • Sabemos que \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Portanto
\int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = 2\arctan x.

Passo 8

Somando as três antiderivadas (e lembrando de adicionar a constante de integração C), obtemos:
\int \frac{4x}{x^{3}+x^{2}+x+1}\,dx = -2\ln|x+1| + \ln(x^{2}+1) + 2\arctan x + C.
Podemos, se quisermos, combinar os logaritmos:
-2\ln|x+1| + \ln(x^{2}+1) = \ln\!\left(\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}}\right),
mas tanto a forma somada quanto a forma combinada estão corretas.

Resposta

-2\ln|x+1|+\ln(x^{2}+1)+2\arctan x + C

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