Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
\frac{1+6 x}{(4 x-3)(2 x+5)}

Passo 1

O enunciado pede para escrever as formas de decomposição em frações parciais da função
\frac{1+6 x}{(4 x-3)(2 x+5)}.
Informações dadas e observações importantes:
  • O denominador é o produto de dois fatores lineares distintos: (4x-3) e (2x+5).
  • O numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2, portanto a função é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador).
  • A tarefa exige só escrever as formas de decomposição (os tipos de termos) — não calcular os valores numéricos dos coeficientes.

Passo 2

Regra prática para fatores lineares distintos:
  • Quando o denominador tem fatores lineares distintos, cada fator recebe um termo simples com numerador constante. Ou seja, a forma geral da decomposição será
\frac{1+6 x}{(4 x-3)(2 x+5)}=\frac{A}{4x-3}+\frac{B}{2x+5},
onde A e B são constantes (coeficientes) a determinar. Aqui eu não vou determinar A e B, apenas apresento a forma.

Passo 3

Para entender por que essa é a forma certa (aula rápida):
  • Cada fator linear (\alpha x+\beta) no denominador pede um numerador que seja um polinômio de grau menor que 1, isto é, uma constante.
  • Portanto, para (4x-3) colocamos \dfrac{A}{4x-3} e para (2x+5) colocamos \dfrac{B}{2x+5}.
  • Se multiplicarmos a identidade acima pelo denominador (4x-3)(2x+5), obtemos a identidade polinomial
1+6x = A(2x+5) + B(4x-3),
que seria a equação usada para determinar A e B (por comparação de coeficientes ou por substituição), mas como pedido, não vamos resolver para A e B.

Passo 4

Outro modo equivalente de escrever a decomposição — usando fatores lineares monicos (centralizando as raízes):
  • Podemos escrever os fatores como x-\tfrac{3}{4} e x+\tfrac{5}{2}. Ao fazer isso, os coeficientes mudam por constantes multiplicativas:
\frac{1+6 x}{(4 x-3)(2 x+5)}=\frac{\widetilde{A}}{x-\tfrac{3}{4}}+\frac{\widetilde{B}}{x+\tfrac{5}{2}},
onde existe a relação entre os coeficientes:
\widetilde{A}=\frac{A}{4},\qquad \widetilde{B}=\frac{B}{2}.
Essa forma pode ser útil se você preferir trabalhar com fatores na forma x - \text{(raiz)}.

Passo 5

Métodos para obter os coeficientes (apenas explicação, sem cálculo):
  • Método da substituição (cover-up): para achar A substitui-se x=\tfrac{3}{4} na expressão \dfrac{1+6x}{2x+5} e para achar B substitui-se x=-\tfrac{5}{2} na expressão \dfrac{1+6x}{4x-3}. Não vou efetuar essas substituições porque o enunciado proíbe calcular os valores.
  • Método da comparação de coeficientes: expandindo A(2x+5)+B(4x-3) e igualando coeficientes dos termos em x e dos termos constantes obtém-se um sistema linear para A e B. Também não vou resolver esse sistema.

Resposta

\frac{1+6 x}{(4 x-3)(2 x+5)}=\frac{A}{4x-3}+\frac{B}{2x+5}
\frac{1+6 x}{(4 x-3)(2 x+5)}=\frac{\widetilde{A}}{x-\tfrac{3}{4}}+\frac{\widetilde{B}}{x+\tfrac{5}{2}},\quad \widetilde{A}=\frac{A}{4},\ \widetilde{B}=\frac{B}{2}

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