Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
Passo 1
O enunciado pede para escrever as formas de decomposição em frações parciais da função
Informações dadas e observações importantes:
- O denominador é o produto de dois fatores lineares distintos:
e . - O numerador tem grau
e o denominador tem grau , portanto a função é uma fração racional própria (grau do numerador menor que o do denominador). - A tarefa exige só escrever as formas de decomposição (os tipos de termos) — não calcular os valores numéricos dos coeficientes.
Passo 2
Regra prática para fatores lineares distintos:
- Quando o denominador tem fatores lineares distintos, cada fator recebe um termo simples com numerador constante. Ou seja, a forma geral da decomposição será
onde
e
são constantes (coeficientes) a determinar. Aqui eu não vou determinar
e
, apenas apresento a forma.
Passo 3
Para entender por que essa é a forma certa (aula rápida):
- Cada fator linear
no denominador pede um numerador que seja um polinômio de grau menor que , isto é, uma constante. - Portanto, para
colocamos e para colocamos . - Se multiplicarmos a identidade acima pelo denominador
, obtemos a identidade polinomial
que seria a equação usada para determinar
e
(por comparação de coeficientes ou por substituição), mas como pedido, não vamos resolver para
e
.
Passo 4
Outro modo equivalente de escrever a decomposição — usando fatores lineares monicos (centralizando as raízes):
- Podemos escrever os fatores como
e . Ao fazer isso, os coeficientes mudam por constantes multiplicativas:
onde existe a relação entre os coeficientes:
Essa forma pode ser útil se você preferir trabalhar com fatores na forma
.
Passo 5
Métodos para obter os coeficientes (apenas explicação, sem cálculo):
- Método da substituição (cover-up): para achar
substitui-se na expressão e para achar substitui-se na expressão . Não vou efetuar essas substituições porque o enunciado proíbe calcular os valores. - Método da comparação de coeficientes: expandindo
e igualando coeficientes dos termos em e dos termos constantes obtém-se um sistema linear para e . Também não vou resolver esse sistema.