Use a substituição do Exercício 59 para transformar o integrando em uma funçĩo racional de t e entiāo calcule a integral.
\int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} 2 x}{2+\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}2x}{2+\cos x}\,dx
e instrui a “usar a substituição do Exercício 59” para transformar o integrando numa função racional de t e então calcular a integral. A substituição padrão desse tipo de exercício é a substituição de Weierstrass t=\tan\frac{x}{2}, que transforma um intervalo em x para um intervalo em t. Em particular a substituição t=\tan\frac{x}{2} envia o intervalo x\in[0,\pi) em t\in[0,\infty). Por isso, considerando que o exercício pede explicitamente transformar o integrando em função racional de t com t variando de 0 a \infty, vou interpretar que o limite superior pretendido para x é \pi (ou seja, a integral a ser calculada é)
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin 2x}{2+\cos x}\,dx.
Vou aplicar a substituição indicada e resolver passo a passo.

Passo 2

Apresentando a substituição e as fórmulas básicas. Definimos
t=\tan\frac{x}{2}.
As fórmulas padrão (que derivam da identidade \tan\frac{x}{2}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} ou das fórmulas de seno e cosseno em termos de tangente da metade do ângulo) são:
\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Explico rapidamente: escrevendo \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} e \tan\frac{x}{2}=t=\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} obtém-se \sin x=2\cdot\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}=\dfrac{2t}{1+t^{2}}, e análoga manipulação dá \cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Além disso o diferencial transforma-se como
dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}},
pois x=2\arctan t\Rightarrow dx=2\cdot\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 3

Expressar \sin 2x em função de t. Usamos \sin 2x=2\sin x\cos x. Substituindo as fórmulas de \sin x e \cos x:
\sin 2x = 2\cdot\frac{2t}{1+t^{2}}\cdot\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} = \frac{4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 4

Expressar o denominador 2+\cos x em função de t:
2+\cos x = 2 + \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} = \frac{2(1+t^{2}) + 1 - t^{2}}{1+t^{2}} = \frac{3+t^{2}}{1+t^{2}}.
Agora formamos o quociente \dfrac{\sin 2x}{2+\cos x}:
\frac{\sin 2x}{2+\cos x} = \frac{\dfrac{4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}{\dfrac{3+t^{2}}{1+t^{2}}} = \frac{4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})(3+t^{2})}.

Passo 5

Multiplicamos pelo dx transformado para obter o integrando em t:
dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}},
então
\frac{\sin 2x}{2+\cos x}\,dx = \frac{4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})(3+t^{2})}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^{2}} = \frac{8t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}(3+t^{2})}\,dt.
Portanto a integral em x transforma-se em integral racional em t.

Passo 6

Mudar os limites de integração: para x=0 temos t=\tan 0=0. Para x=\pi temos t=\tan\frac{\pi}{2}, que tende a +\infty. Assim:
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin 2x}{2+\cos x}\,dx = \int_{0}^{\infty}\frac{8t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}(3+t^{2})}\,dt.

Passo 7

Fazer a decomposição em frações parciais conveniente. Observamos que o numerador é impar em t, então procuramos uma decomposição do tipo
\frac{8t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}(3+t^{2})} = \frac{A\,t}{1+t^{2}} + \frac{B\,t}{(1+t^{2})^{2}} + \frac{C\,t}{3+t^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (1+t^{2})^{2}(3+t^{2}) e dividindo por t (identidade polinomial), obtemos
8(1-t^{2}) = A(1+t^{2})(3+t^{2}) + B(3+t^{2}) + C(1+t^{2})^{2}.
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de t resulta no sistema (coeficientes de t^{4},t^{2},t^{0}):
\begin{cases} 0 &= A + C,\\[4pt] -8 &= 4A + B + 2C,\\[4pt] 8 &= 3A + 3B + C. \end{cases}
Resolvendo esse sistema obtém-se
A=-8,\qquad B=8,\qquad C=8.
Logo a decomposição é
\frac{8t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}(3+t^{2})} = -8\cdot\frac{t}{1+t^{2}} + 8\cdot\frac{t}{(1+t^{2})^{2}} + 8\cdot\frac{t}{3+t^{2}}.]

Passo 8

Integramos termo a termo no intervalo t\in[0,\infty).
  1. Para o primeiro termo:
\int_{0}^{\infty}\frac{t}{1+t^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\left[\ln(1+t^{2})\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}\lim_{T\to\infty}\ln(1+T^{2}) \quad\text{(diverge isoladamente)}.
  1. Para o segundo termo usamos u=1+t^{2}\Rightarrow du=2t\,dt:
\int_{0}^{\infty}\frac{t}{(1+t^{2})^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u^{2}} = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2}.
  1. Para o terceiro termo:
\int_{0}^{\infty}\frac{t}{3+t^{2}}\,dt = \frac{1}{2}\left[\ln(3+t^{2})\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}\lim_{T\to\infty}\ln(3+T^{2}) \quad\text{(também diverge isoladamente)}.é
Agora combinamos as contribuições com os coeficientes -8,\;8,\;8. As partes logarítmicas divergentes se combinam:
-8\cdot\frac{1}{2}\ln(1+t^{2}) + 8\cdot\frac{1}{2}\ln(3+t^{2}) = 4\ln\!\big(\tfrac{3+t^{2}}{1+t^{2}}\big).
Ao avaliar de 0 a \infty temos
\lim_{t\to\infty}4\ln\!\big(\tfrac{3+t^{2}}{1+t^{2}}\big) - 4\ln\!\big(\tfrac{3+0}{1+0}\big) = 4\ln(1) - 4\ln(3) = -4\ln 3,
pois \dfrac{3+t^{2}}{1+t^{2}}\to 1 quando t\to\infty.
A segunda parcela (do termo com coeficiente 8 que deu 1/2) contribui com 8\cdot\frac{1}{2}=4.
Somando tudo obtemos o valor total da integral:
\int_{0}^{\infty}\frac{8t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}(3+t^{2})}\,dt = -4\ln 3 + 4 = 4 - 4\ln 3.

Passo 9

Portanto a integral original (interpretada no trecho x\in[0,\pi], e transformada por t=\tan\frac{x}{2}) vale
4 - 4\ln 3.

Resposta

4 - 4\ln 3

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