Use a substituição do Exercício 59 para transformar o integrando em uma funçĩo racional de t e entiāo calcule a integral. \int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} 2 x}{2+\cos x} d x
e instrui a “usar a substituição do Exercício 59” para transformar o integrando numa função racional de t e então calcular a integral. A substituição padrão desse tipo de exercício é a substituição de Weierstrass t=\tan\frac{x}{2}, que transforma um intervalo em x para um intervalo em t. Em particular a substituição t=\tan\frac{x}{2} envia o intervalo x\in[0,\pi) em t\in[0,\infty). Por isso, considerando que o exercício pede explicitamente transformar o integrando em função racional de t com t variando de 0 a \infty, vou interpretar que o limite superior pretendido para x é \pi (ou seja, a integral a ser calculada é)
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin 2x}{2+\cos x}\,dx.
Vou aplicar a substituição indicada e resolver passo a passo.
Passo 2
Apresentando a substituição e as fórmulas básicas. Definimos
t=\tan\frac{x}{2}.
As fórmulas padrão (que derivam da identidade \tan\frac{x}{2}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} ou das fórmulas de seno e cosseno em termos de tangente da metade do ângulo) são:
Explico rapidamente: escrevendo \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} e \tan\frac{x}{2}=t=\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} obtém-se \sin x=2\cdot\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}=\dfrac{2t}{1+t^{2}}, e análoga manipulação dá \cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Além disso o diferencial transforma-se como
dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}},
pois x=2\arctan t\Rightarrow dx=2\cdot\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Passo 3
Expressar \sin 2x em função de t. Usamos \sin 2x=2\sin x\cos x. Substituindo as fórmulas de \sin x e \cos x: