Calcule a integral.
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}-2 x^{2}-4}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}-2 x^{2}-4}{x^{3}+2 x^{2}}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}}.
  • O denominador pode se anular em x=0 (pois x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2)), ou em x=-2, mas x=-2 não está no intervalo de integração [0,2].
  • Como o integrando está indefinido em x=0, a integral é imprópria e deve ser entendida como limite lateral \displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\int_{\varepsilon}^{2}.
    A partir daqui vamos manipular a função e estudar esse limite.

Passo 2

Vamos simplificar a função racional antes de integrar. Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2).
Como os polinômios do numerador e do denominador têm o mesmo grau ( 3), fazemos uma divisão polinomial (ou subtraímos o denominador uma vez) para obter uma fração própria. Observe:
\frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}} = 1 + \frac{(x^{3}-2x^{2}-4)-(x^{3}+2x^{2})}{x^{3}+2x^{2}}.
Calculando o numerador da fração restante:
(x^{3}-2x^{2}-4)-(x^{3}+2x^{2}) = -4x^{2}-4 = -4(x^{2}+1).
Portanto:
\frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}} = 1 -4\cdot\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+2)}.

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais da parte própria
\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+2)}.
Procuramos constantes A,B,C\) tais que \[\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x+2) obtemos a identidade polinomial
x^{2}+1 = A x(x+2) + B(x+2) + C x^{2}.
Expandindo:
x^{2}+1 = (A+C)x^{2} + (2A+B)x + 2B.
Comparando coeficientes com x^{2}+0\cdot x +1 temos o sistema
\begin{cases} A + C = 1,\\[4pt] 2A + B = 0,\\[4pt] 2B = 1. \end{cases}
Da terceira equação 2B=1\] vem \(B=\tfrac{1}{2}.
Substituindo na segunda: 2A + \tfrac{1}{2}=0 então A=-\tfrac{1}{4}.
Da primeira: C=1-A=1-(-\tfrac{1}{4})=\tfrac{5}{4}.]

Passo 4

Substituímos A,B,C na decomposição e voltamos ao fator -4. Primeiro
\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+2)} = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{x} + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} + \tfrac{5}{4}\cdot\frac{1}{x+2}.
Multiplicando por -4 (lembrando que a nossa função tinha -4 multiplicando essa fração) obtemos
-4\cdot\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+2)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{5}{x+2}.
Logo o integrando fica
\frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{5}{x+2}.

Passo 5

Agora escrevemos a integral como soma de integrais (lembrando que é imprópria em 0):
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}-2x^{2}-4}{x^{3}+2x^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{2} \left(1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{5}{x+2}\right)dx.
Calculamos uma primitiva F(x) do integrando componente a componente:
\begin{aligned} \int 1\,dx &= x,\\[4pt] \int \frac{1}{x}\,dx &= \ln|x|,\\[4pt] \int -\frac{2}{x^{2}}\,dx &= -2\int x^{-2}dx = -2(-x^{-1}) = \frac{2}{x},\\[4pt] \int -\frac{5}{x+2}\,dx &= -5\ln|x+2|. \end{aligned}
Somando, uma primitiva é
F(x) = x + \ln|x| + \frac{2}{x} - 5\ln|x+2| + C.]

Passo 6

Avaliamo-la no intervalo [\varepsilon,2] e tomamos o limite \varepsilon\to 0^{+}:
\int_{\varepsilon}^{2} = F(2)-F(\varepsilon).
Calculemos F(2) explicitamente:
F(2) = 2 + \ln 2 + \frac{2}{2} - 5\ln 4 = 3 + \ln 2 -5\ln 4.
Como \ln 4 = 2\ln 2 temos
F(2) = 3 + \ln 2 - 10\ln 2 = 3 - 9\ln 2,
que é um número finito.
Agora analise F(\varepsilon) quando \varepsilon\to 0^{+}:
F(\varepsilon) = \varepsilon + \ln\varepsilon + \frac{2}{\varepsilon} - 5\ln(\varepsilon+2).
À medida que \varepsilon\to 0^{+}:
  • \varepsilon \to 0 (término finito),
  • \ln\varepsilon \to -\infty,
  • \dfrac{2}{\varepsilon}\to +\infty (este termo domina em módulo),
  • -5\ln(\varepsilon+2)\to -5\ln 2 (finito).
    O termo dominante é \dfrac{2}{\varepsilon}\to +\infty, portanto F(\varepsilon)\to +\infty.

Passo 7

Como F(\varepsilon)\to +\infty quando \varepsilon\to 0^{+}, o valor da integral imprópria é
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}}\bigl(F(2)-F(\varepsilon)\bigr) = \text{(número finito)} - (+\infty) = -\infty.ú
Ou seja, a integral diverge para -\infty e, portanto, não converge (não é finita).

Resposta

Diverge para -\infty.

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