Calcule a integral.
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2 x^{2}+4 x} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional, que vamos resolver por decomposição em frações parciais e reconhecimento de integral do tipo \int f'/f.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^{4}+2x^{2}+4x = x\,(x^{3}+2x+4).
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, propomos a forma
\frac{x^{3}+x+1}{x\,(x^{3}+2x+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx^{2}+Cx+D}{x^{3}+2x+4}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^{3}+2x+4) obtemos
x^{3}+x+1 = A\,(x^{3}+2x+4) + x\,(Bx^{2}+Cx+D).
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de x:
x^{3}+x+1 = (A+B)x^{3} + Cx^{2} + (2A+D)x + 4A.
Igualando coeficientes a x^{3}+0x^{2}+1x+1 resulta o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\ C = 0,\\\\ 2A + D = 1,\\\\ 4A = 1. \end{cases}

Passo 4

Da última equação vem A = \tfrac14. Assim
B = 1 - A = \tfrac34,\quad C = 0,\quad D = 1 - 2A = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.
Portanto a integral se escreve
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x}\,dx = \int \Bigl(\frac{1/4}{x} + \frac{\tfrac34x^{2}+ \tfrac12}{x^{3}+2x+4}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Separe em duas integrais:
\int \frac{1/4}{x}\,dx + \int \frac{\tfrac34x^{2}+\tfrac12}{x^{3}+2x+4}\,dx = \frac14\int \frac{dx}{x} + \frac14\int \frac{3x^{2}+2}{x^{3}+2x+4}\,dx.
Observe que \frac{d}{dx}(x^{3}+2x+4)=3x^{2}+2. Logo a segunda integral é do tipo \int f'/f:
\frac14\int \frac{3x^{2}+2}{x^{3}+2x+4}\,dx = \frac14\ln\bigl|x^{3}+2x+4\bigr| + C.
E a primeira é
\frac14\ln|x|.

Passo 6

Somando os resultados e agrupando o constante de integração, temos
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x}\,dx = \frac14\ln|x| + \frac14\ln\bigl|x^{3}+2x+4\bigr| + C.

Resposta

\boxed{\frac14\ln|x| + \frac14\ln\bigl|x^{3}+2x+4\bigr| + C}.

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