(2) Um tanque esvaziou em 28 minutos conforme a equação h^{\prime}=-M \sqrt{h} /\left(2 h-h^{2}\right), sendo h(t) o nível da água acima do ralo, em função do tempo, e M uma constante. O nível inicial da água era 1 m . Determine quando o nível chegou a (1/4) m. (3pts)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial que descreve o esvaziamento do tanque:
h'(t)=-M\,\frac{\sqrt{h}}{2h-h^2},
com condição inicial h(0)=1 e sabemos que o tanque se esvaziou totalmente ( h=0) em 28 minutos. Precisamos determinar o instante t em que h(t)=\tfrac14. O conteúdo aplicado será separação de variáveis e integração para encontrar a antiderivada.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
\frac{dh}{dt}=-M\,\frac{\sqrt{h}}{2h-h^2} \;\Longrightarrow\; dt=-\frac{2h-h^2}{M\sqrt{h}}\,dh.
O tempo decorrido até um nível genérico h é
t(h)=-\frac{1}{M}\int_{1}^{h}\frac{2h-h^2}{\sqrt{h}}\,dh.
Em particular, o tempo total de esvaziamento é
T =t(0) =-\frac{1}{M}\int_{1}^{0}\frac{2h-h^2}{\sqrt{h}}\,dh =\frac{1}{M}\int_{0}^{1}\frac{2h-h^2}{\sqrt{h}}\,dh.

Passo 3

Calculamos a antiderivada genérica
\int\frac{2h-h^2}{\sqrt{h}}\,dh =\int\bigl(2h^{1/2}-h^{3/2}\bigr)dh =\frac{4}{3}h^{3/2}-\frac{2}{5}h^{5/2}+C.
Chamando
I(h)=\frac{4}{3}h^{3/2}-\frac{2}{5}h^{5/2},
temos \dint_{0}^{1}\!(2h-h^2)/\sqrt{h}\,dh=I(1)-I(0)=\tfrac{4}{3}-\tfrac{2}{5}=\tfrac{14}{15}.

Passo 4

Do tempo total T=28 minutos,
28 =\frac{1}{M}\,\frac{14}{15} \quad\Longrightarrow\quad M=\frac{14}{15\cdot28}=\frac{1}{30}.

Passo 5

O tempo para descer de h=1 até h=\tfrac14 é
t\bigl(\tfrac14\bigr) =\frac{1}{M}\int_{1/4}^{1}\frac{2h-h^2}{\sqrt{h}}\,dh =\frac{1}{M}\bigl[I(1)-I(\tfrac14)\bigr].
Calculamos
I\bigl(\tfrac14\bigr) =\frac{4}{3}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{3/2} -\frac{2}{5}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{5/2} =\frac{1}{6}-\frac{1}{80}=\frac{37}{240},
e já vimos I(1)=\tfrac{14}{15}=\tfrac{224}{240}. Logo
I(1)-I(\tfrac14)=\frac{224-37}{240}=\frac{187}{240},
t\bigl(\tfrac14\bigr) =\;30\;\frac{187}{240} =\frac{187}{8}\text{ minutos} \approx23{,}375\text{ minutos}.

Resposta

O nível h(t) chega a \tfrac14 m após \tfrac{187}{8} minutos (aproximadamente 23{,}38 minutos).

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