Calcule a integral dupla.
\iint_{D} y^{2} d A, \quad D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant y \leqslant 1,-y-2 \leqslant x \leqslant y\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y^{2}\,dA,
sendo
D = \{(x,y)\mid -1 \le y \le 1,\;-y-2 \le x \le y\}.
O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos usar a definição de integral iterada de Fubini.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral dupla como integral iterada em x e y. Como y varia de -1 a 1 e para cada y o x varia de -y-2 até y, temos
\iint_{D} y^{2}\,dA = \int_{y=-1}^{1} \Bigl(\int_{x=-y-2}^{y} y^{2}\,dx\Bigr) dy.

Passo 3

Dentro da integral em x, y^{2} é constante em relação a x. Logo
\int_{x=-y-2}^{y} y^{2}\,dx = y^{2}\,\bigl[x\bigr]_{x=-y-2}^{x=y} = y^{2}\bigl(y -(-y-2)\bigr).

Passo 4

Calculamos a diferença y -(-y-2):
y -(-y-2)= y + y + 2 = 2y+2.
Então a integral torna-se
\int_{-1}^{1} y^{2}(2y+2)\,dy = \int_{-1}^{1} \bigl(2y^{3}+2y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 5

Agora integramos termo a termo em y:
\int_{-1}^{1}2y^{3}\,dy = 2\Bigl[\tfrac{y^{4}}{4}\Bigr]_{-1}^{1} = 2\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}\Bigr)=0,
\int_{-1}^{1}2y^{2}\,dy = 2\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =2\Bigl(\tfrac{1}{3}-(-\tfrac{1}{3})\Bigr) =2\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{4}{3}.

Resposta

\frac{4}{3}.

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