Calcule a integral.
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2 x^{2}+4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x}\,dx.
O conteúdo necessário é decomposição em frações parciais e, em seguida, uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que
x^{4}+2x^{2}+4x = x\bigl(x^{3}+2x+4\bigr).
Logo podemos escrever
\frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x} = \frac{x^{3}+x+1}{x\,(x^{3}+2x+4)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{x^{3}+x+1}{x\,(x^{3}+2x+4)} = \frac{A}{x} + \frac{B\,x^{2}+C\,x+D}{x^{3}+2x+4}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{3}+2x+4), obtemos a identidade de polinômios
x^{3}+x+1 = A\,\bigl(x^{3}+2x+4\bigr) + \bigl(Bx^{2}+Cx+D\bigr)\,x.

Passo 4

Igualamos coeficientes em
A\,x^{3}+2A\,x+4A + B\,x^{3}+C\,x^{2}+D\,x = x^{3}+0\,x^{2}+1\,x+1.
Isso gera o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\ C = 0,\\\\ 2A + D = 1,\\\\ 4A = 1. \end{cases}
Da última equação vem A=\tfrac14. Então
B = 1 - A = \tfrac34,\quad C = 0,\quad D = 1 - 2A = \tfrac12.

Passo 5

Substituindo em cada parcela, a integral fica
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x}\,dx = \int \frac{\tfrac14}{x}\,dx + \int \frac{\tfrac34\,x^{2} + \tfrac12}{\,x^{3}+2x+4\,}\,dx.
A primeira parte é imediata:
\int \frac{\tfrac14}{x}\,dx = \tfrac14 \ln\lvert x\rvert.

Passo 6

Para a segunda parte, notamos que se definirmos
u = x^{3}+2x+4 \quad\Longrightarrow\quad du = (3x^{2}+2)\,dx,
então
\tfrac34\,x^{2} + \tfrac12 = \tfrac14\,(3x^{2}+2)
e
\int \frac{\tfrac34\,x^{2} + \tfrac12}{x^{3}+2x+4}\,dx = \int \frac{\tfrac14\,(3x^{2}+2)}{u}\,dx = \tfrac14 \int \frac{du}{u} = \tfrac14 \ln\lvert u\rvert.

Passo 7

Voltando a u = x^{3}+2x+4 e somando as partes, obtemos
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x}\,dx = \tfrac14 \ln\lvert x\rvert + \tfrac14 \ln\bigl\lvert x^{3}+2x+4\bigr\rvert + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{4}+2x^{2}+4x}\,dx = \tfrac14 \ln\lvert x\rvert + \tfrac14 \ln\bigl\lvert x^{3}+2x+4\bigr\rvert + C.}

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