Calcule a integral.
\int \frac{2 x+5}{x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{2x+5}{x-3}\,dx.
Este é um caso de função racional. Para resolver, vamos usar divisão polinomial para separar o integrando em termos mais simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Fazendo a divisão de 2x+5 por x-3:
2x+5 = 2\,(x-3) + 11,
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\frac{2x+5}{x-3} = 2 + \frac{11}{x-3}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{2x+5}{x-3}\,dx = \int 2\,dx + 11\int \frac{1}{x-3}\,dx.

Passo 4

Agora integramos cada parte:
\int 2\,dx = 2x,
\int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln\bigl|x-3\bigr|.
Somando tudo, obtemos
\int \frac{2x+5}{x-3}\,dx = 2x + 11\,\ln\bigl|x-3\bigr| + C.

Resposta

2x + 11\ln\lvert x-3\rvert + C

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