Calcule a integral.
\int \frac{\operatorname{sen} 2 x}{\sqrt{9-\cos ^{4} x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\operatorname{sen} 2x}{\sqrt{9 - \cos^4 x}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição em integrais, reconhecendo que a derivada de \cos^2 x gera justamente \sen2x\,dx.

Passo 2

Definimos
u = \cos^2 x.
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = 2\cos x\bigl(-\operatorname{sen} x\bigr)\,dx = -\,2\operatorname{sen} x\cos x\,dx = -\,\sen2x\,dx.
Logo,
\sen2x\,dx = -\,du.

Passo 3

Note que \cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = u^2. Substituindo na integral original:
\int \frac{\sen2x}{\sqrt{9 - \cos^4 x}}\,dx = \int \frac{-\,du}{\sqrt{9 - u^2}} = - \int \frac{du}{\sqrt{9 - u^2}}.

Passo 4

A integral
\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}}
é uma forma padrão que resulta em \arcsin(u/a). Aqui a^2 = 9, ou seja a=3. Assim,
- \int \frac{du}{\sqrt{9 - u^2}} = -\,\arcsin\!\bigl(\frac{u}{3}\bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, basta substituir u = \cos^2 x:
-\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{\cos^2 x}{3}\bigr) + C.

Resposta

-\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{\cos^2 x}{3}\bigr) + C.

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