Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4}\tan^{3}x\;\operatorname{sec}^{4}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, aproveitando que \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x, o que nos permite reduzir o integrando a um polinômio em \tan x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \tan x, \quad dt = \operatorname{sec}^{2}x\,dx, \quad \operatorname{sec}^{2}x = 1 + \tan^{2}x = 1 + t^{2}.
Note que
\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \tan^{3}x\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\,dx\bigr) = t^{3}(1+t^{2})\,dt.
Os limites x=0 e x=\pi/4 viram t=0 e t=1, respectivamente.

Passo 3

A integral em t fica
\int_{0}^{1}t^{3}(1+t^{2})\,dt =\int_{0}^{1}(t^{3}+t^{5})\,dt.
Integramos termo a termo:
\int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4}, \quad \int t^{5}\,dt=\frac{t^{6}}{6}.
Portanto
\int_{0}^{1}(t^{3}+t^{5})\,dt =\biggl[\frac{t^{4}}{4}+\frac{t^{6}}{6}\biggr]_{0}^{1} =\frac{1}{4}+\frac{1}{6} =\frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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