Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador ( ), então a fração é própria (não é preciso fazer divisão polinomial antes).
Passo 2
Estratégia escolhida: decompor a função racional em frações parciais e integrar cada parcela. Rápida motivação (sem desenvolver ainda): frações parciais funcionam bem porque o denominador parece fatorável em quadráticos, e então cada parcela terá uma primitiva conhecida (logaritmos e arctangente). Agora vamos fatorar o denominador para ver os fatores.
Passo 3
Fatoremos o denominador
.
Observamos que é um polinômio em . Tomando
, temos
. Voltando para
,
Observamos que é um polinômio em
Essa fatoração é útil porque cada fator é um quadrático sem raízes reais (irredutível sobre os reais).
Passo 4
Para decompor em frações parciais, para cada fator quadrático irreduzível do tipo
usamos um numerador linear
. Assim supomos
Explico por que: o grau do numerador de cada parcela deve ser estritamente menor que o grau do respectivo denominador. Como os denominadores têm grau
, cada numerador pode ser um polinômio de grau
, isto é, linear.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para igualar numeradores:
Agora expandimos cada produto. Primeiro
e
Somando:
Passo 6
Comparando coeficientes de potências de
Resolvendo: da primeira equação
. Logo
e
. Para
e
: da segunda
. Substituindo na quarta:
Então
.
Portanto os coeficientes são
,
,
,
. A decomposição é
Passo 7
Escrevemos a integral como soma de integrais fáceis:
Separe em termos simples:
Passo 8
Calcule
.
Use substituição . Então
, logo
. Assim
Use substituição
Observação: como
para todo
, podemos omitir as barras de valor absoluto dentro do log se quisermos usar a forma mais simples
.
Passo 9
Calcule
.
Essa é a primitiva clássica que dá arco-tangente:
Essa é a primitiva clássica que dá arco-tangente:
Lembre que
, por isso essa antiderivada funciona.
Passo 10
Calcule
.
Faço substituição análoga: , então
e
. Logo
Faço substituição análoga:
Novamente
para todo
, então o log é bem definido sem barras.
Passo 11
Calcule
.
Use a fórmula padrão . Aqui
, então
. Assim
Use a fórmula padrão
Explicando a fórmula: se
, com a substituição
tem-se
.
Passo 12
Some todas as parcelas obtidas:
onde
é a constante de integração. Podemos também combinar os logaritmos:
se preferir uma forma mais compacta.