Calcule a integral.
\int \frac{3 x^{2}+x+4}{x^{4}+3 x^{2}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \;3x^{2}+x+4\;.
  • O denominador é \;x^{4}+3x^{2}+2\;.
  • O grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 4), então a fração é própria (não é preciso fazer divisão polinomial antes).

Passo 2

Estratégia escolhida: decompor a função racional em frações parciais e integrar cada parcela. Rápida motivação (sem desenvolver ainda): frações parciais funcionam bem porque o denominador parece fatorável em quadráticos, e então cada parcela terá uma primitiva conhecida (logaritmos e arctangente). Agora vamos fatorar o denominador para ver os fatores.

Passo 3

Fatoremos o denominador \;x^{4}+3x^{2}+2\;.
Observamos que é um polinômio em x^{2}. Tomando y=x^{2}, temos y^{2}+3y+2=(y+1)(y+2). Voltando para x,
x^{4}+3x^{2}+2=(x^{2}+1)(x^{2}+2).
Essa fatoração é útil porque cada fator é um quadrático sem raízes reais (irredutível sobre os reais).

Passo 4

Para decompor em frações parciais, para cada fator quadrático irreduzível do tipo \;x^{2}+a\; usamos um numerador linear \;Ax+B\;. Assim supomos
\frac{3x^{2}+x+4}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2}.
Explico por que: o grau do numerador de cada parcela deve ser estritamente menor que o grau do respectivo denominador. Como os denominadores têm grau 2, cada numerador pode ser um polinômio de grau \le 1, isto é, linear.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+2) para igualar numeradores:
3x^{2}+x+4=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Agora expandimos cada produto. Primeiro
(Ax+B)(x^{2}+2)=Ax^{3}+Bx^{2}+2Ax+2B,
e
(Cx+D)(x^{2}+1)=Cx^{3}+Dx^{2}+Cx+D.
Somando:
3x^{2}+x+4=(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D).

Passo 6

Comparando coeficientes de potências de x\) nos dois lados (lembrando que no lado esquerdo os coeficientes de \(x^{3}\) e de outras potências ausentes são zero), obtemos o sistema \[\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=3,\\[4pt] 2A+C=1,\\[4pt] 2B+D=4. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação C=-A\]. Substituindo na terceira: \(2A+(-A)=A=1. Logo A=1 e C=-1. Para B e D: da segunda D=3-B. Substituindo na quarta:
2B+(3-B)=4 \quad\Rightarrow\quad B+3=4 \quad\Rightarrow\quad B=1.
Então D=3-B=2.
Portanto os coeficientes são A=1, B=1, C=-1, D=2. A decomposição é
\frac{3x^{2}+x+4}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{x+1}{x^{2}+1}+\frac{-x+2}{x^{2}+2}.]

Passo 7

Escrevemos a integral como soma de integrais fáceis:
\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx =\int \frac{x+1}{x^{2}+1}\,dx+\int \frac{-x+2}{x^{2}+2}\,dx.
Separe em termos simples:
\int \frac{x+1}{x^{2}+1}\,dx =\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx+\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx,
\int \frac{-x+2}{x^{2}+2}\,dx =-\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx+2\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 8

Calcule \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Use substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\tfrac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du=\tfrac{1}{2}\ln|u|+\text{const}=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Observação: como x^{2}+1>0 para todo x, podemos omitir as barras de valor absoluto dentro do log se quisermos usar a forma mais simples \ln(x^{2}+1).

Passo 9

Calcule \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Essa é a primitiva clássica que dá arco-tangente:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x.
Lembre que \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, por isso essa antiderivada funciona.

Passo 10

Calcule \displaystyle -\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx.
Faço substituição análoga: v=x^{2}+2, então dv=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}dv. Logo
-\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx=-\tfrac{1}{2}\int \frac{1}{v}\,dv=-\tfrac{1}{2}\ln|v|=-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr).
Novamente x^{2}+2>0 para todo x, então o log é bem definido sem barras.

Passo 11

Calcule \displaystyle 2\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.
Use a fórmula padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr). Aqui a^{2}=2, então a=\sqrt{2}. Assim
2\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx =2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2}}\Bigr) =\sqrt{2}\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2}}\Bigr).
Explicando a fórmula: se a>0, com a substituição t=\frac{x}{a} tem-se \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan(x/a).

Passo 12

Some todas as parcelas obtidas:
\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx =\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan x -\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)+\sqrt{2}\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2}}\Bigr)+C,
onde C é a constante de integração. Podemos também combinar os logaritmos:
\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) =\tfrac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}\Bigr),
se preferir uma forma mais compacta.

Resposta

\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan x-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)+\sqrt{2}\,\arctan\!\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\Bigr)+C

Exercícios relacionados