Calcule a integral. \int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1} d x
Passo 1
O que nos é pedido: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{o numerador é }x^{4}+x-1,\qquad\text{o denominador é }x^{3}+1.
Observação importante (do enunciado): a função integranda é uma razão de polinômios (uma fração racional) em que o grau do numerador (4) é maior que o grau do denominador (3). Isso é tudo que precisamos extrair do enunciado; nas próximas etapas começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
Motivação e primeiro passo técnico: quando temos uma fração racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, devemos primeiro fazer a divisão de polinômios (divisão euclidiana) para obter uma parte polinomial mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir x^{4}+x-1 por x^{3}+1.
Dividindo:
\frac{x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+x-1}{x^{3}+0x^{2}+0x+1}
o quociente é x porque x^{4}/x^{3}=x. Multiplicando o divisor por x:
Para integrar \displaystyle \int \frac{1}{x^{3}+1}\,dx vamos decompor em frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador usando a soma de cubos:
a fórmula é \displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}). Tomando a=x e b=1 obtemos
Encontrar A,B,C\) detalhadamente: multiplicamos ambos os lados por \(x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)\):
\[1=A(x^{2}-x+1)+(Bx+C)(x+1).
Expandindo:
1=A x^{2}-A x + A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Agrupando termos semelhantes:
1=(A+B)x^{2}+(-A+B+C)x+(A+C).
Igualando coeficientes do polinômio à direita com o polinômio constante 1 à esquerda (ou seja coeficiente de x^{2} é 0, de x é 0, constante é 1), obtemos o sistema
Resolvendo: de A+B=0\] vem \(B=-A. Substituindo em -A+B+C=0 dá -A-A+C=0\Rightarrow C=2A. Substituindo em A+C=1 dá A+2A=1\Rightarrow 3A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{3}. Então
Falta integrar \displaystyle -\frac{1}{3}\int\frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx. Para integrar uma fração com um quadrático no denominador, uma técnica prática é escrever o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante. Seja D(x)=x^{2}-x+1. Então D'(x)=2x-1. Procuramos \alpha,\beta tais que
-x+2=\alpha(2x-1)+\beta.
Igualando coeficientes: para x obtemos 2\alpha=-1\Rightarrow \alpha=-\tfrac{1}{2}. Para a constante: -\alpha+\beta=2\Rightarrow \beta=2+\alpha=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Logo, fazendo u=x-\tfrac{1}{2} e lembrando que \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right), com a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos