Calcule a integral.
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1} d x

Passo 1

O que nos é pedido: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{o numerador é }x^{4}+x-1,\qquad\text{o denominador é }x^{3}+1.éé
Observação importante (do enunciado): a função integranda é uma razão de polinômios (uma fração racional) em que o grau do numerador ( 4) é maior que o grau do denominador ( 3). Isso é tudo que precisamos extrair do enunciado; nas próximas etapas começamos a resolver passo a passo.

Passo 2

Motivação e primeiro passo técnico: quando temos uma fração racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, devemos primeiro fazer a divisão de polinômios (divisão euclidiana) para obter uma parte polinomial mais uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir x^{4}+x-1 por x^{3}+1.
Dividindo:
\frac{x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+x-1}{x^{3}+0x^{2}+0x+1}
o quociente é x porque x^{4}/x^{3}=x. Multiplicando o divisor por x:
x\cdot(x^{3}+1)=x^{4}+x.
Subtraindo do numerador:
(x^{4}+x-1)-(x^{4}+x)=-1.
Logo a divisão dá quociente x e resto -1, ou seja
\frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}=x+\frac{-1}{x^{3}+1}=x-\frac{1}{x^{3}+1}.

Passo 3

Escrevemos a integral usando o resultado da divisão:
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}\,dx=\int x\,dx-\int \frac{1}{x^{3}+1}\,dx.
A primeira integral é trivial:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-\int \frac{1}{x^{3}+1}\,dx.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int \frac{1}{x^{3}+1}\,dx vamos decompor em frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador usando a soma de cubos:
a fórmula é \displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}). Tomando a=x e b=1 obtemos
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
Então procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{x^{3}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}.

Passo 5

Encontrar A,B,C\) detalhadamente: multiplicamos ambos os lados por \(x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)\): \[1=A(x^{2}-x+1)+(Bx+C)(x+1).
Expandindo:
1=A x^{2}-A x + A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Agrupando termos semelhantes:
1=(A+B)x^{2}+(-A+B+C)x+(A+C).
Igualando coeficientes do polinômio à direita com o polinômio constante 1 à esquerda (ou seja coeficiente de x^{2} é 0, de x é 0, constante é 1), obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -A+B+C=0,\\[4pt] A+C=1. \end{cases}
Resolvendo: de A+B=0\] vem \(B=-A. Substituindo em -A+B+C=0 -A-A+C=0\Rightarrow C=2A. Substituindo em A+C=1 A+2A=1\Rightarrow 3A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{3}. Então
A=\tfrac{1}{3},\quad B=-\tfrac{1}{3},\quad C=\tfrac{2}{3}.
Portanto
\frac{1}{x^{3}+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{3}}{x^{2}-x+1}.]

Passo 6

Voltando à integral principal:
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-\int\left[\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{3}}{x^{2}-x+1}\right]dx.
Separando integrais e fatorando \tfrac{1}{3}:
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{3}\int\frac{1}{x+1}\,dx-\frac{1}{3}\int\frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx.
(Observe que -\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}(-x+2).)
A primeira dessas é imediata:
-\frac{1}{3}\int\frac{1}{x+1}\,dx=-\frac{1}{3}\ln|x+1|.

Passo 7

Falta integrar \displaystyle -\frac{1}{3}\int\frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx. Para integrar uma fração com um quadrático no denominador, uma técnica prática é escrever o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante. Seja D(x)=x^{2}-x+1. Então D'(x)=2x-1. Procuramos \alpha,\beta tais que
-x+2=\alpha(2x-1)+\beta.
Igualando coeficientes: para x obtemos 2\alpha=-1\Rightarrow \alpha=-\tfrac{1}{2}. Para a constante: -\alpha+\beta=2\Rightarrow \beta=2+\alpha=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto
\frac{-x+2}{x^{2}-x+1}=\alpha\cdot\frac{D'(x)}{D(x)}+\beta\cdot\frac{1}{D(x)}=-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{D'(x)}{D(x)}+\tfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{D(x)}.

Passo 8

Integrando termo a termo:
\int \frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx=-\tfrac{1}{2}\int\frac{D'(x)}{D(x)}\,dx+\tfrac{3}{2}\int\frac{1}{D(x)}\,dx.
A primeira integral dá logaritmo:
-\tfrac{1}{2}\int\frac{D'(x)}{D(x)}\,dx=-\tfrac{1}{2}\ln\bigl|D(x)\bigr|=-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
(Observação: x^{2}-x+1>0 para todos x, então podemos omitir as barras em x^{2}-x+1 se preferirmos; mantemos a escrita comum.)
Assim
\int \frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx=-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr)+\tfrac{3}{2}\int\frac{1}{x^{2}-x+1}\,dx.

Passo 9

Calcular \displaystyle \int\frac{1}{x^{2}-x+1}\,dx completando o quadrado:
x^{2}-x+1=\Bigl(x-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}+\tfrac{3}{4}.
Logo, fazendo u=x-\tfrac{1}{2} e lembrando que \int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right), com a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\int\frac{1}{x^{2}-x+1}\,dx=\int\frac{1}{u^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}\,du=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 10

Agora juntamos tudo. Lembrando que havia um fator -\tfrac{1}{3} multiplicando a integral do Passo 8, temos:
Do Passo 8:
\int \frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx=-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr)+\tfrac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
Simplificando o segundo termo: \tfrac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Multiplicando por -\tfrac{1}{3} (conforme Passo 6):
-\tfrac{1}{3}\int\frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx=-\tfrac{1}{3}\left[-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr)+\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right].
Distribuindo:
-\tfrac{1}{3}\int\frac{-x+2}{x^{2}-x+1}\,dx=+\tfrac{1}{6}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr)-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right).
Note que \tfrac{\sqrt{3}}{3}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}.
Então, juntando com os termos anteriores ( \tfrac{x^{2}}{2} e -\tfrac{1}{3}\ln|x+1|), obtemos a primitiva completa:
\int \frac{x^{4}+x-1}{x^{3}+1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{3}\ln|x+1|+\frac{1}{6}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr)-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{3}\ln|x+1|+\frac{1}{6}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr)-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C

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